Arturo Sanjuán

Reducción de Orden

Arturo Sanjuán — Tue, 15 Sep 2026 05:00:00 GMT

1 Cuando el orden se puede bajar

La ecuación general de segundo orden es , y en general no hay ningún método sistemático para resolverla (de hecho, la mayoría de las ecuaciones de segundo orden no lineales simplemente no se pueden resolver en términos de funciones elementales). Pero hay dos situaciones estructurales, sorprendentemente comunes en las aplicaciones, en las que la ecuación se puede bajar a dos ecuaciones de primer orden que se resuelven una tras otra. En ambos casos el truco es el mismo: introducir como nueva variable dependiente; la pregunta es solo respecto a qué variable conviene derivar .

1.1 Falta la variable dependiente

Si no aparece explícitamente en la ecuación, esta se puede escribir como

En ese caso, con y (derivando respecto a , como siempre), la ecuación se convierte en

que ya es de primer orden en . Si se puede resolver para , queda todavía una segunda integración, , para recuperar .

1.2 Falta la variable independiente

Si en cambio no aparece explícitamente, la ecuación tiene la forma

Aquí conviene, en cambio, tratar a como función de (no de ), usando la regla de la cadena:

así que la ecuación se convierte en

que es de primer orden, ahora con haciendo las veces de variable independiente. Este segundo caso es exactamente lo que ocurre, físicamente, cuando se usa conservación de la energía en un sistema mecánico: la energía cinética depende de y la potencial de , y derivar respecto a en vez de es, en el fondo, lo mismo que separar variables en la ecuación de energía.

Veamos tres aplicaciones clásicas: la primera usa el primer caso ( ausente), y las otras dos, que resultan ser la misma ecuación disfrazada dos veces, usan el segundo ( ausente).

2 La catenaria: la forma de una cadena colgante

En 1690, Jakob Bernoulli planteó como reto público el problema de encontrar la curva que forma una cadena flexible colgada de sus dos extremos, bajo su propio peso (él mismo lo había intentado sin éxito). Al año siguiente, Leibniz, Huygens y Johann Bernoulli publicaron soluciones independientes. Fue Huygens quien le dio el nombre, del latín catena, cadena.

Supongamos que el eje pasa por el punto más bajo de la cadena, y sea la longitud de arco medida desde ese punto hasta un punto variable . Si es la densidad lineal de la cadena, el trozo de cadena entre el punto más bajo y está en equilibrio bajo tres fuerzas: la tensión horizontal en el punto más bajo, la tensión en (que actúa a lo largo de la tangente, porque la cadena es flexible), y el peso de ese trozo de cadena, dirigido hacia abajo. Igualando las componentes horizontal y vertical,

donde es el ángulo que forma la tangente con la horizontal. Dividiendo estas dos ecuaciones,

Derivando esta última igualdad respecto a , y usando que (el elemento de arco),

Para una cadena de densidad uniforme , y llamando ,

Esta es una ecuación de segundo orden en la que no aparece explícitamente (solo y ): el primer caso de la sección anterior.

2.1 Resolviendo por reducción de orden

Con , la ecuación se convierte en

Aquí conviene resistir la tentación de elevar al cuadrado ambos lados para deshacerse de la raíz (eso complica innecesariamente el álgebra y puede introducir soluciones falsas al final). En cambio, separamos variables directamente,

y usamos el hecho de que la derivada de es exactamente el integrando de la izquierda (, lo cual se comprueba de inmediato derivando ): la antiderivada aparece de una vez, sin sustituciones adicionales, . Integrando ambos lados,

La pendiente en el punto más bajo es cero ( cuando , por construcción del eje ), así que y

Una segunda integración da, finalmente,

que es la ecuación de la catenaria, con fijado por la altura del punto más bajo. El parámetro tiene una interpretación física directa: entre mayor la tensión horizontal frente al peso , más abierta y plana es la curva cerca del origen; entre menor, más cerrada y puntiaguda.

La catenaria para dos valores de . Entre mayor la tensión horizontal frente al peso, más plana es la curva cerca del punto más bajo.

Una curiosidad que se prueba más adelante en el curso

Si esta curva se hace girar alrededor del eje , la superficie de revolución que se genera tiene, entre todas las superficies que se apoyan en los mismos dos círculos extremos, el área mínima posible. Esto no es evidente a partir de lo que hemos visto aquí (se demuestra con cálculo de variaciones, minimizando directamente la integral del área), pero es una razón más para que esta curva, además de resolver un problema de equilibrio de fuerzas, también resuelva un problema de optimización geométrica.

Haciendo las cuentas con Maxima

kill(all);

/* Verificamos que y=a*cosh(x/a) resuelve a*y''=sqrt(1+(y')^2) */
y: a*cosh(x/a);
yp: diff(y,x);
ypp: diff(y,x,2);
chequeo: trigsimp(a*ypp - sqrt(1+yp^2));   /* debe dar 0 */
chequeo;

/* Confirmamos la antiderivada usada arriba */
integrate(1/sqrt(1+p^2), p);   /* da asinh(p), la forma log(p+sqrt(1+p^2)) */

3 El péndulo y el resorte: la misma ecuación dos veces

3.1 El péndulo simple

Consideremos ahora un péndulo: una masa al final de una cuerda de longitud y peso despreciable, con el ángulo que forma con la vertical, y el ángulo (la amplitud) desde el que se suelta el péndulo, partiendo del reposo. Suponiendo que no hay resistencia del aire, la energía se conserva: la energía cinética en el ángulo más la energía potencial en es igual a la energía potencial inicial en (donde la energía cinética es cero, porque se suelta desde el reposo):

(la velocidad a lo largo del arco es , y la altura sobre el punto más bajo es ; ya dividimos entre la masa ). Despejando,

Este es exactamente el segundo caso de la sección anterior, aplicado directamente a la ecuación de movimiento. En efecto, la segunda ley de Newton a lo largo del arco da , y si en esa ecuación (donde , el tiempo, no aparece explícitamente) sustituimos y ,

y con la condición inicial en se obtiene : exactamente la misma ecuación de conservación de energía de arriba. Reducir el orden de una ecuación de movimiento y conservar la energía son, en el fondo, el mismo cálculo hecho dos veces.

El periodo exacto. Separando variables e integrando un cuarto de oscilación (de a ), el periodo completo resulta

Con la identidad del ángulo mitad y la sustitución , con (de modo que va de a cuando va de a ), esta integral se transforma en

donde es la integral elíptica completa de primera especie. No existe forma de escribir en términos de funciones elementales: hay que evaluarla numéricamente o con tablas.

Una curiosidad histórica: el error circular de los relojes de péndulo

Como depende de , un reloj de péndulo real se atrasa o adelanta según la amplitud con la que oscile; a este efecto se le llama, históricamente, el error circular. Christiaan Huygens, quien inventó el reloj de péndulo en 1656, descubrió que la única curva que hace que el periodo sea exactamente independiente de la amplitud (la propiedad tautócrona) no es el arco circular sino el cicloide, y llegó a construir relojes con mejillas cicloidales para forzar al péndulo a describir esa curva en vez de un arco de círculo. Es el mismo cicloide que resuelve el problema de la braquistócrona.

La aproximación de ángulo pequeño. Cuando es pequeño, (coinciden hasta la primera cifra decimal para menor a unos radianes), y la ecuación se aproxima por

que es la ecuación del oscilador armónico simple, con . Su solución, sujeta a y , es , con periodo aproximado

independiente de la amplitud : esta es la razón, después de todo, por la que decimos coloquialmente que el péndulo es isócrono, aunque estrictamente solo lo es en el límite de oscilaciones pequeñas.

Razón entre el periodo exacto del péndulo y el periodo aproximado de ángulo pequeño, , en función de la amplitud . Para amplitudes menores a unos la aproximación es excelente; más allá, el error circular crece con rapidez.

Haciendo las cuentas con Maxima

kill(all);

/* Comparamos el periodo exacto (integral eliptica, resuelta numericamente)
   contra la aproximacion de angulo pequeno, para a=1, g=9.8 */
periodo_exacto(alpha_grados) := block(
  [alpha: alpha_grados*%pi/180, integral],
  integral: quad_qags(1/sqrt(cos(theta)-cos(alpha)), theta, 0, alpha - 1e-9)[1],
  4*sqrt(1/(2*9.8))*integral
);
T0: 2*%pi*sqrt(1/9.8);

for alpha_grados in [5, 20, 45, 90, 150] do
  print("alpha=", alpha_grados, "grados:  T_exacto/T0 = ",
        float(periodo_exacto(alpha_grados)/T0));
/* la razon crece de aproximadamente 1.0005 (alpha=5) a 1.76 (alpha=150):
   el error circular es despreciable para oscilaciones pequenas, pero
   muy real para amplitudes grandes */

3.2 El resorte y la ley de Hooke

Consideremos ahora una masa atada a un resorte de constante , sobre una superficie sin fricción, con la posición medida desde el equilibrio. La ley de Hooke dice que la fuerza restauradora es (el signo indica que se opone al desplazamiento). Por la segunda ley de Newton, , es decir

Con , esta es exactamente la misma ecuación que obtuvimos para el péndulo con ángulo pequeño. No es una coincidencia ni una simplificación forzada: los dos sistemas, uno gravitacional y otro elástico, comparten la misma estructura matemática porque en ambos la fuerza restauradora es, en la aproximación lineal, proporcional al desplazamiento y opuesta a él.

3.3 Resolviendo por reducción de orden

Escribamos la ecuación en la variable genérica (que representa a en el péndulo o a en el resorte). Con y (segundo caso, ausente),

Esta constante es, salvo un factor, la energía total del sistema (cinética más potencial), conservada porque no hay fricción. Escribiendo , con la amplitud,

Integrando, , así que

La familia de curvas , para distintos valores de , es una familia de elipses en el plano : cada una corresponde a una amplitud de oscilación distinta, y el sistema recorre siempre la misma elipse, nunca salta de una a otra, porque no hay fricción que disipe o añada energía.

Retrato de fase de tras la reducción de orden: las curvas de conservación son elipses, cada una una amplitud de oscilación distinta. Las flechas marcan el sentido, horario, del recorrido.

Haciendo las cuentas con Maxima

kill(all);
depends(p,y);

/* Reduccion de orden, caso x ausente: y''+w^2*y=0 */
edo: p*'diff(p,y) + w^2*y = 0;
conservacion: ratsimp(integrate(p,p) + w^2*integrate(y,y));  /* (p^2+w^2*y^2)/2 = C */
conservacion;

/* Verificacion final: y=A*sin(w*x+phi) satisface y''+w^2*y=0 */
y_sol: A*sin(w*x+phi);
chequeo: ratsimp(diff(y_sol,x,2) + w^2*y_sol);   /* debe dar 0 */
chequeo;

4 Applet: dos sistemas, la misma ecuación

Para el péndulo, ; para el resorte, . En ambos casos, soltando el sistema desde el reposo en su amplitud máxima, el movimiento es : la misma proyección de un punto que gira uniformemente sobre un círculo de radio con velocidad angular . El siguiente simulador muestra esa conexión: el punto que gira sobre el círculo, a la izquierda, tiene en cada instante la misma altura que la curva trigonométrica que traza a la derecha; abajo se dibuja, en ese mismo instante, el sistema físico real que se haya seleccionado.

Simulador: el círculo de referencia, el péndulo y el resorte

Sistema: Péndulo Resorte Periodo actual: $T\approx$ - s

$\alpha$ (ángulo inicial): 15° $a$ (longitud): 1.00 m $g$ (gravedad): 9.80 m/s²

Izquierda: un punto gira sobre un círculo de radio $A$ (la amplitud) con velocidad angular $\omega$; su altura sobre el centro es $A\cos(\omega t)$. Derecha: esa misma altura, graficada contra el tiempo, es la curva $y=A\cos(\omega t)$. Abajo: el sistema físico real, péndulo o resorte, en ese mismo instante. Al cambiar de sistema o mover un control, la animación reinicia desde la amplitud máxima, como si el sistema se soltara de nuevo desde el reposo. Nota: el dibujo del péndulo usa la aproximación de ángulo pequeño; para $\alpha$ grande el movimiento real ya no es exactamente sinusoidal, como se explica arriba con la integral elíptica.

Tarea

Haga los ejercicios de la sección 11 (Reducción de Orden, problemas 1 y 3, páginas 85 a 88) y de la sección 12 (La Cadena Colgante, problemas 1 y 3, páginas 88 a 95) del Simmons, comprobando cada resultado con Maxima. Note que el problema 3 de la sección 12 es precisamente el caso de un puente colgante (un cable de peso despreciable que soporta una carga horizontal constante, en vez de su propio peso): compare la forma que obtiene con la catenaria de esta sección y explique, en un par de líneas, por qué son curvas distintas.

Ecuaciones Homogéneas y Exactas

Arturo Sanjuán — Tue, 08 Sep 2026 05:00:00 GMT

1 Dos maneras nuevas de reconocer una ecuación

Hasta ahora hemos resuelto ecuaciones separables y las hemos usado para encontrar familias ortogonales. Pero la mayoría de las ecuaciones que uno escribe al azar no son separables: simplemente no se deja factorizar como un producto . Esta sección presenta dos maneras distintas en que una ecuación así puede, sin embargo, resolverse por completo: porque tiene una simetría de escala escondida (ecuaciones homogéneas), o porque en realidad es la diferencial total de una función (ecuaciones exactas). En ambos casos el punto no es memorizar una fórmula, sino aprender a reconocer una estructura.

2 Ecuaciones homogéneas

2.1 De las trayectorias ortogonales a un ángulo cualquiera

En la sección de Familias Ortogonales encontramos la familia perpendicular a reemplazando la pendiente por su recíproco negativo: . Ese es apenas el caso particular en que el ángulo de cruce es de . ¿Qué pasa si en cambio queremos que una segunda familia cruce a la primera en un ángulo cualquiera , el mismo en todo punto de contacto?

Si en el punto la primera curva tiene pendiente , donde es el ángulo que forma su tangente con el eje , entonces la segunda curva, al cruzarla con ángulo , tiene una tangente que forma el ángulo con el eje . Por la identidad de la tangente de una suma,

así que la segunda familia satisface esta ecuación (es el problema 10 de la sección 7 del Simmons):

Consistencia con el caso ortogonal

Si , entonces . Dividiendo numerador y denominador entre y tomando el límite, el término se anula y queda . La fórmula de trayectorias ortogonales es, entonces, apenas el caso límite de esta fórmula más general.

2.2 El ejercicio: cruzar los círculos concéntricos en

Apliquemos esto a la familia de círculos (problema 11, literal b, de la misma sección). Derivando implícitamente, , así que la familia original satisface

Queremos la familia que la cruza en , es decir, con . Sustituyendo en la fórmula general y multiplicando arriba y abajo por :

Esta ecuación no es separable: no existe manera de escribir como un producto . Pero tiene otra propiedad notable. Si reemplazamos por y por , para cualquier , el lado derecho no cambia:

porque el factor se cancela. Esta invariancia bajo escalamiento (estirar o encoger el plano entero desde el origen no altera la pendiente) es precisamente lo que se llama una ecuación homogénea.

2.3 Ecuaciones homogéneas: la definición general

Una función es homogénea de grado si para todo . La ecuación se llama homogénea si y son homogéneas del mismo grado; en ese caso resulta ser homogénea de grado , es decir, depende solo del cociente (basta dividir arriba y abajo entre para verlo).

Geométricamente esto significa algo muy concreto: la pendiente de la ecuación es la misma en todos los puntos de un mismo rayo que sale del origen. Si está sobre una curva solución, entonces da exactamente la misma pendiente, para cualquier . Por eso, si escalamos una curva solución completa desde el origen, obtenemos otra curva solución: toda la familia de soluciones es invariante bajo escalamiento, la misma simetría que ya vimos en la ecuación de arriba.

Esa invariancia sugiere el cambio de variable natural: en vez de , usar con , porque permanece constante a lo largo de cada rayo. Escribiendo ,

y como el lado derecho de la ecuación original satisface (por ser homogénea de grado ), la ecuación se convierte en

que ya es separable en y . Se resuelve por separación de variables y, al final, se recupera mediante .

2.4 Resolviendo el ejercicio

Para nuestra ecuación, , así que , y

Separando variables,

El lado izquierdo se parte en dos integrales conocidas:

así que

Ahora viene el paso bonito: , que es justamente en coordenadas polares, y . La solución se convierte, en polares, en

Esto es una espiral logarítmica (también llamada espiral equiangular). A diferencia de una espiral de Arquímedes, donde crece de forma lineal con , aquí decrece de forma exponencial. La familia de círculos y la familia de espirales se cruzan siempre en el mismo ángulo de , sin importar en qué punto se toquen: esa es, después de todo, la propiedad que usamos para construir la ecuación.

Una curiosidad histórica: la spira mirabilis de Bernoulli

Jakob Bernoulli quedó fascinado con esta curva porque es autosemejante: al girarla o escalarla, se obtiene la misma espiral. La llamó spira mirabilis (espiral maravillosa) y pidió que se grabara en su lápida junto con la frase Eadem mutata resurgo (aunque cambiada, resurjo igual). Según cuenta la anécdota, el escultor no distinguió entre una espiral logarítmica y una de Arquímedes, y talló la curva equivocada; la lápida de Bernoulli, en la catedral de Basilea, todavía hoy muestra una espiral distinta de la que él pidió.

Applet: la espiral que cruza los círculos en ángulo constante

Ángulo $\alpha$: 45°

Círculos concéntricos (azul, familia original) y la espiral logarítmica que los cruza en ángulo $\alpha$ constante (rojo). El punto marca el cruce sobre el círculo de referencia; las líneas cortas son las dos tangentes, y el sector verde muestra el ángulo $\alpha$ entre ellas. En $\alpha=0°$ la espiral coincide con el círculo ($\tan\alpha=0$); entre más grande $|\alpha|$, más rápido se enrosca la espiral hacia el origen.

Haciendo las cuentas con Maxima

kill(all);
depends(y, x);

/* Formula general (Simmons, seccion 7, problema 10): si la familia
   original satisface y'=f(x,y), la familia que la cruza en un angulo
   alpha en cada punto satisface esta ecuacion */
f: -x/y;                       /* familia original x^2+y^2=c da y'=-x/y */
nueva_pendiente: ratsimp((f+tan(alpha))/(1-f*tan(alpha)));

/* Caso del problema 11, literal b: angulo alpha=pi/4, tan(alpha)=1 */
nueva_pendiente_45: subst(tan(alpha)=1, nueva_pendiente);

/* Sustitucion y=z*x para resolver la ecuacion homogenea */
depends(z, x);
lado_derecho: ratsimp(subst(y=z*x, nueva_pendiente_45));
xdzdx: ratsimp(lado_derecho - z);      /* x*dz/dx = -(z^2+1)/(z+1) */

/* Separando e integrando */
integral_z: integrate((z+1)/(z^2+1), z);
sol_implicita: integral_z = -log(x) + c1;
sol_xy: subst(z=y/x, sol_implicita);

/* Pasando a polares para reconocer la espiral */
sol_polar: trigsimp(ratsimp(subst([x=r*cos(theta), y=r*sin(theta)], sol_xy)));
/* da: theta + log(r) = c1, es decir r = A*exp(-theta) */

3 Ecuaciones exactas

3.1 Motivación física: campos conservativos y curvas equipotenciales

Consideremos ahora una fuerza central atractiva, como la gravitacional o la eléctrica de Coulomb, cuya magnitud decae con el cuadrado de la distancia al origen. Si y , el campo de fuerzas es

con (el signo negativo indica que la fuerza apunta hacia el origen: es atractiva) y el vector unitario en la dirección de . El trabajo realizado al mover una partícula una distancia infinitesimal es

Como el campo es conservativo, ese trabajo no depende del camino recorrido, solo de los puntos inicial y final: existe una función potencial tal que . En particular, si nos movemos a lo largo de una curva de potencial constante (una equipotencial), no se realiza trabajo neto: sobre esa curva, es decir,

Esta es la ecuación diferencial de las curvas equipotenciales. No es separable ni homogénea (compruébelo): es de un tercer tipo.

3.2 Ecuaciones exactas: la definición general

Si resulta ser, como arriba, la diferencial total de alguna función ,

entonces se llama una ecuación exacta, y su solución es simplemente . El problema práctico es reconocer cuándo ocurre esto sin tener que adivinar de entrada. La respuesta usa un hecho de cálculo: si tiene derivadas parciales mixtas continuas, estas son iguales sin importar el orden en que se tomen, . Como y , se sigue que

Este criterio, , es necesario para la exactitud; en cualquier región sin agujeros donde y tengan derivadas continuas (un rectángulo, por ejemplo, o todo el plano menos el origen si evitamos rodearlo) también es suficiente. Cuando la ecuación es exacta, se encuentra integrando respecto a y tratando a como constante, lo que deja una función arbitraria por determinar; después se deriva ese resultado respecto a y se compara con para encontrar , y de ahí .

3.3 Resolviendo el ejemplo: el potencial de una fuerza central

Para y , se puede verificar (Maxima lo confirma abajo) que : la ecuación es exacta. Integrando respecto a ,

Derivando respecto a y comparando con ,

así que es una constante, y

Las curvas equipotenciales, , son entonces , es decir, : círculos concéntricos en el origen. Tiene sentido: como la fuerza solo depende de la distancia al origen, su potencial también depende solo de , y los conjuntos de nivel de una función que depende solo de son siempre círculos centrados en el origen.

3.4 Cerrando el círculo con la primera sección del curso

Esto conecta directamente con la sección de Familias Ortogonales. El campo de fuerzas apunta siempre en la dirección radial, hacia o desde el origen, así que sus líneas de campo son los rayos que salen del origen. Como el gradiente de una función siempre es perpendicular a sus curvas de nivel, las líneas de campo (radiales) y las líneas equipotenciales (círculos) forman, una vez más, un par de familias ortogonales: exactamente las rectas y los círculos concéntricos del primer applet de esta serie de notas.

3.5 Verificando con Maxima y graficando el campo

Haciendo las cuentas con Maxima

kill(all);
load(draw);

/* Campo central atractivo: F = -k*(x,y)/r^3 (gravitacional o de Coulomb) */
rr: sqrt(x^2+y^2);
Mx: -k*x/rr^3;    /* componente Fx: hace de M en M dx + N dy = 0 */
Ny: -k*y/rr^3;    /* componente Fy: hace de N */

/* Criterio de exactitud: dM/dy debe ser igual a dN/dx */
es_exacta: is(ratsimp(diff(Mx,y) - diff(Ny,x)) = 0);

/* Potencial: integramos M respecto a x, ajustamos con N */
phi: integrate(Mx, x);                 /* phi = k/sqrt(x^2+y^2) + g(y) */
ajuste: ratsimp(diff(phi,y) - Ny);     /* da 0: g es constante */

/* Grafica del campo (flechas grises) y las curvas equipotenciales
   phi=c, que son circulos concentricos x^2+y^2=(k/c)^2 (rojo) */
kk: 1;
Fx(xx,yy) := -kk*xx/(sqrt(xx^2+yy^2))^3;
Fy(xx,yy) := -kk*yy/(sqrt(xx^2+yy^2))^3;

puntos: [];
for i: -4 thru 4 do
  for j: -4 thru 4 do
    if abs(i)+abs(j) > 0 then puntos: append(puntos, [[i,j]]);

vectores: [];
for p in puntos do (
  x0: p[1], y0: p[2],
  fx: Fx(x0,y0), fy: Fy(x0,y0),
  mag: sqrt(fx^2+fy^2),
  ux: 0.5*fx/mag, uy: 0.5*fy/mag,
  vectores: append(vectores, [vector([x0-ux/2,y0-uy/2],[ux,uy])])
);

circulos: [];
for radioC in [1,2,3,3.6] do
  circulos: append(circulos, [ellipse(0,0,radioC,radioC,0,360)]);

opciones: [
  terminal = png, file_name = "campo",
  dimensions = [700,700], xrange = [-4.3,4.3], yrange = [-4.3,4.3],
  proportional_axes = xy, head_length = 0.13, head_angle = 25,
  color = "gray50", line_width = 1
];
apply(draw2d, append(opciones, vectores,
  [color = "red", line_width = 2, transparent = true], circulos));

Campo de fuerzas central (gris) y curvas equipotenciales, círculos concéntricos (rojo). Las flechas son radiales y perpendiculares a los círculos en cada punto de cruce.

Tarea

Haga todos los ejercicios de la sección 7 (Ecuaciones homogéneas, problemas 1 a 11, páginas 67 a 69) y de la sección 8 (Ecuaciones exactas, problemas 1 a 22, páginas 70 a 74) del Simmons.

Taller 1

Arturo Sanjuán — Fri, 04 Sep 2026 05:00:00 GMT

Una ecuación diferencial no siempre nace de la misma manera. En este taller van a recorrer tres orígenes distintos de una EDO: una condición geométrica local, una ley física de proporcionalidad, y un principio mecánico que reduce una ecuación de segundo orden a una de primer orden.

1 Familias de curvas ortogonales

Encuentren la curva tal que la parte de la recta tangente cortada por los ejes queda bisecada por el punto de tangencia.

Traduzcan la condición geométrica a una ecuación diferencial.
Resuelvan la ecuación y muestren que la familia de curvas es .
Encuentren la ecuación diferencial de la familia de curvas ortogonales a la familia hallada en el punto anterior, resuélvanla, y muestren que esta segunda familia es .
Grafiquen ambas familias sobre los mismos ejes.

Solución

La recta tangente en es . Corta al eje en y al eje en . Que biseque ese segmento significa que es el promedio de las dos abscisas de los cortes:

Separando variables:

La pendiente ortogonal es :

Ambas familias son hipérbolas: tiene por asíntotas los ejes coordenados, y tiene por asíntotas — la segunda familia es, geométricamente, la primera rotada 45°.

2 La ley de enfriamiento de Newton

La ley de enfriamiento de Newton establece que la tasa de cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio que lo rodea, :

El caso: un forense muere durante una autopsia en un cuarto que se mantiene a 5°C constantes. Su cuerpo es encontrado a las 10 a.m. a 23°C, y a las 12 p.m. a 18.5°C. Su temperatura normal en vida era 37°C.

Resuelvan la ecuación diferencial de forma general (en términos de , , y una constante de integración).
Usen los dos datos de temperatura (10 a.m. y 12 p.m.) para hallar y la constante de integración.
Determinen a qué hora ocurrió la muerte.

Solución

Con a las 10 a.m., y :

Con el dato de las 12 p.m. (, ):

Para la hora de muerte ():

Los logaritmos se cancelan exactamente: la muerte ocurrió 4 horas antes de las 10 a.m., a las 6:00 a.m.

3 La velocidad de escape

En el espacio, la ley de gravitación de Newton establece que la fuerza que la Tierra ejerce sobre un cuerpo varía inversamente al cuadrado de la distancia a su centro. Esto plantea una pregunta con consecuencias muy concretas: ¿qué tan rápido hay que lanzar un proyectil hacia arriba para que nunca regrese, escapando para siempre de la atracción terrestre? La respuesta la velocidad de escape es la razón por la que los cohetes necesitan alcanzar una velocidad mínima muy específica para salir de la órbita terrestre.

Sea la distancia del proyectil al centro de la Tierra, el radio terrestre, y su velocidad. Si se desprecia la resistencia del aire, la segunda ley de Newton da

Reducción de orden. Usen la regla de la cadena, , para reescribir la ecuación anterior como una ecuación de primer orden y separable en y .
Integren, usando la condición inicial cuando , para mostrar que .
Velocidad de escape. El proyectil escapa (nunca regresa) si se mantiene incluso cuando . Usen esta condición para mostrar que la velocidad inicial mínima requerida es .
Si no escapa. Supongan ahora que , de modo que el proyectil sube pero eventualmente regresa. Encuentren la altura máxima que alcanza sobre la superficie (el valor de cuando ).

Solución

Con :

Separando e integrando:

Con en : , así que

Cuando , . Para que nunca sea negativo se necesita , es decir

(con y ).

Si , la altura máxima es donde :

Equivalente, en términos de : , crece sin límite a medida que .

Factores Integrantes

Arturo Sanjuán — Sat, 29 Aug 2026 05:00:00 GMT

1 Cuando una ecuación no exacta se puede volver exacta

La sección anterior dejó una herramienta poderosa pero frágil: si es exacta, se resuelve por integración directa. El problema es que la exactitud es una coincidencia algebraica —basta cambiar un signo o un coeficiente para destruirla— así que la mayoría de las ecuaciones que uno encuentra en la práctica no son exactas tal como están escritas.

La pregunta natural es si una ecuación no exacta se puede forzar a ser exacta multiplicándola por una función auxiliar , de modo que

sí lo sea. A esa función se le llama factor integrante. Ya conoces un ejemplo sin saberlo: no es exacta, pero al multiplicarla por se convierte en , que se integra de inmediato. Euler, hacia la década de 1730, fue de los primeros en sistematizar esta idea de “multiplicador” para ecuaciones que de otro modo no cedían a los métodos conocidos.

¿Cuándo existe un factor así, y cómo se encuentra? Exigir que sea exacta significa exigir

En general esto es una ecuación en derivadas parciales para , tan difícil como la original. Pero si uno supone que depende solo de (es decir, ), la ecuación colapsa a una EDO de primer orden en :

Si el lado derecho resulta depender solo de —llamémoslo — entonces se puede integrar directamente:

Por simetría, si en cambio depende solo de , el mismo argumento da

En ambos casos la receta es la misma: calcular la expresión indicada, comprobar que depende de una sola variable, e integrarla. Si no depende de una sola variable, este método particular no aplica y hace falta otra estrategia (agrupar términos reconociendo diferenciales conocidas, buscar como función de o de , etc.).

Haciendo las cuentas con Maxima

kill(all);

/* Ejemplo: y dx + (x^2 y - x) dy = 0, no exacta */
M: y;
N: x^2*y - x;
diff(M,y) - diff(N,x);  /* no es cero: no es exacta */

/* buscamos mu(x): (M_y - N_x)/N debe depender solo de x */
g: ratsimp((diff(M,y) - diff(N,x))/N);
mu: exp(integrate(g,x));
mu;  /* mu = 1/x^2 */

/* comprobacion de exactitud tras multiplicar */
Mp: mu*M; Np: mu*N;
ratsimp(diff(Mp,y) - diff(Np,x));  /* debe dar 0 */

2 Ejercicio (Simmons, sección 9, problema 2d)

Probando exactitud. Con y : y , así que y la ecuación no es exacta.

Buscando el factor integrante. Como no depende de , probamos :

que depende solo de . Entonces

Multiplicando por , la ecuación se transforma en

y ahora sí es exacta: .

Integrando. De se sigue . Derivando respecto a e igualando a :

Haciendo las cuentas con Maxima

kill(all);
M: exp(x);
N: exp(x)*cot(y) + 2*y*csc(y);

h: ratsimp((diff(N,x) - diff(M,y))/M);   /* h(y) = cot(y) */
mu: trigsimp(exp(integrate(h,y)));        /* mu = sin(y)   */

Mp: ratsimp(mu*M);
Np: trigsimp(ratsimp(mu*N));
ratsimp(diff(Mp,y) - diff(Np,x));         /* chequeo: 0    */

f: integrate(Mp, x);
gp: trigsimp(ratsimp(Np - diff(f,y)));
g: integrate(gp, y);
f + g;   /* e^x*sin(y) + y^2 */

3 La ecuación de Bernoulli

Hay un tipo de ecuación no lineal que, aunque no es exacta ni lineal tal como se presenta, se reduce a una ecuación lineal con el cambio de variable correcto. Se trata de la ecuación de Bernoulli,

llamada así por Jacob Bernoulli, quien la planteó en 1695 como un reto a sus contemporáneos (entre ellos su hermano Johann y Leibniz, quien la resolvió ese mismo año). Si o ya es lineal y no hay nada que reducir. Para cualquier otro , la sustitución

la convierte en una ecuación lineal en . La razón: derivando, ; dividiendo la ecuación original entre ,

y sustituyendo (con ), queda

que es lineal en y se resuelve con factor integrante como en la sección anterior del curso.

4 Ejercicio (Simmons, sección 10, problema 3a)

Identificando la ecuación. Dividiendo entre : , que es Bernoulli con , , .

Sustitución. Con , . Dividiendo la ecuación entre :

y con , , es decir :

Resolviendo la ecuación lineal en . El factor integrante es

Multiplicando y reconociendo la derivada de un producto:

Deshaciendo la sustitución. Como :

Haciendo las cuentas con Maxima

kill(all);
depends(y,x);
edo: x*'diff(y,x) + y = x^4*y^3;

n: 3;
yprime: rhs(solve(edo, 'diff(y,x))[1]);

/* dz/dx en terminos de z, con z = y^(1-n) */
dzdx: ratsimp((1-n)*y^(-n)*yprime);
dzdx_z: ratsimp(subst(y = z^(1/(1-n)), dzdx));
dzdx_z;   /* 2*z/x - 2*x^3 */

/* ecuacion lineal en z */
depends(z,x);
edo_z: 'diff(z,x) - (2/x)*z = -2*x^3;
sol_z: ode2(edo_z, z, x);
sol_z;    /* z = x^2*(%c - x^2) */

5 Aplicación — una cadena de desintegración radioactiva

Una sustancia radioactiva se desintegra en una segunda sustancia , y a su vez se desintegra en una tercera sustancia (este es, de hecho, el comportamiento real de muchas cadenas de desintegración natural, como la del uranio-238 hasta llegar al plomo estable). Sea la cantidad inicial de , y sean las constantes de desintegración de cada paso. Si y son las cantidades de y en el instante :

La primera ecuación es de variables separables y da : el mecanismo de desintegración simple que ya se estudió en la sección de modelación. La segunda dice que gana lo que pierde (el término ) pero al mismo tiempo se desintegra por su cuenta (el término ).

Resolviendo para . Sustituyendo en la segunda ecuación, queda una ecuación lineal de primer orden en :

El factor integrante es :

Integrando y despejando :

Con la condición inicial se obtiene , así que

(esta fórmula asume ; si las dos tasas coinciden, el mismo procedimiento con integración directa da ). Por conservación de la materia, la cantidad de es simplemente lo que falta: .

Un detalle cualitativo: B siempre tiene un máximo

Mientras todavía existe, alimenta a más rápido de lo que se desintegra, así que crece. Pero a medida que se agota, ese suministro cae, y en algún momento la desintegración de hacia empieza a dominar: alcanza un máximo y luego decae hacia cero. Ese instante se encuentra en :

Haciendo las cuentas con Maxima

kill(all);
depends(x,t);
depends(y,t);

edoA: 'diff(x,t) = -k1*x;
solA: ic1(ode2(edoA, x, t), t=0, x=N0);
xt_expr: rhs(solA);

edoB: 'diff(y,t) = k1*xt_expr - k2*y;
solB: ic1(ode2(edoB, y, t), t=0, y=0);
yt_expr: radcan(rhs(solB));

/* chequeo: yt_expr debe satisfacer la EDO original */
radcan(diff(yt_expr,t) - (k1*xt_expr - k2*yt_expr));   /* debe dar 0 */

/* ejemplo numerico: N0=100, k1=0.3, k2=0.1 */
vals: [N0=100, k1=0.3, k2=0.1];
xnum(t) := ''(subst(vals, xt_expr));
ynum(t) := ''(subst(vals, yt_expr));
znum(t) := 100 - xnum(t) - ynum(t);

tmax_expr: log(k1/k2)/(k1-k2);
tmax_num: float(subst(vals, tmax_expr));
print("t* = ", tmax_num, "  y(t*) = ", float(ynum(tmax_num)));

load(draw);
draw2d(
  terminal = png, file_name = "cadena",
  xlabel = "t", ylabel = "cantidad",
  color = blue, key = "A(t)", explicit(xnum(t), t, 0, 30),
  color = red, key = "B(t)", explicit(ynum(t), t, 0, 30),
  color = "dark-green", key = "C(t)", explicit(znum(t), t, 0, 30)
);

Simulador — cadena de desintegración A → B → C

Tasa $k_1$ ($A\to B$): 0.30 Tasa $k_2$ ($B\to C$): 0.10

$N_0=100$ fijo (no cambia la forma de las curvas, solo la escala). Azul: $A(t)$; rojo: $B(t)$; verde: $C(t)$. El punto rojo marca el máximo de $B$ ($t^*=$ -, $B_{max}=$ -). Prueba acercar $k_1$ y $k_2$: el máximo de $B$ se vuelve más ancho y bajo; con $k_1\gg k_2$, $B$ crece rápido y decae lento (cuello de botella en el segundo paso); con $k_1\ll k_2$ ocurre lo opuesto.

Tarea

Hacer los ejercicios de la sección 9 (factores integrantes) y sección 10, problema 3 (Bernoulli) del Simmons, comprobando cada resultado con Maxima. Además, resolver la cadena de desintegración para el caso (integrando directamente, sin la fórmula general de arriba) y verificar que coincide con el límite de la solución obtenida.

Coordenadas Polares

Arturo Sanjuán — Sun, 23 Aug 2026 05:00:00 GMT

1 Coordenadas polares

Un punto en el plano se puede describir con la distancia al origen (el polo) y el ángulo respecto al eje (el eje polar). La relación con las coordenadas cartesianas es

Applet — conversión entre coordenadas

r: θ:

1.1 Ejemplo — la familia

Grafiquemos esta familia (¡la misma que ya trabajamos con la técnica de las trayectorias ortogonales!) para distintos rayos , y construyamos la tabla de valores.

Applet — r = 2a cos θ, con tabla de rayos

θ

1.2 Ejemplo 3 (Apostol, Vol. 1, p. 136) — la lemniscata de Bernoulli

Pasar a coordenadas polares la ecuación , con .

Con , , , la ecuación se convierte en

que solo tiene sentido si , es decir (más su reflejo por , para el segundo lóbulo). La figura que se genera se conoce como la lemniscata de Bernoulli, y se asocia al símbolo .

Applet — explorador de curvas polares clásicas

a: n: b:

2 Pendientes en coordenadas polares

Con denotamos el ángulo de la pendiente de la recta tangente en el punto ; entonces . Denotamos . Ya dedujimos (viendo , como una parametrización) que

Si despejamos de esta ecuación:

Esta es la ecuación diferencial asociada a las pendientes de las rectas tangentes de la familia original. Para la familia ortogonal, reemplazamos por (la pendiente perpendicular):

Y si calculamos directamente , coincide exactamente con . Por eso: si la familia de rectas tangentes satisface , la ecuación de las curvas ortogonales satisface — queda demostrado.

Hacer las cuentas — código Maxima

kill(all);
depends(y, x);

/* pendiente cartesiana en terminos de r, theta, r'=dr/dtheta */
tanphi: (rp*sin(theta)+r*cos(theta)) / (rp*cos(theta)-r*sin(theta));

/* despejamos rp = F(r,theta) */
F: rhs(solve(tanphi = tphi, rp)[1]);
F: ratsimp(F);

/* familia ortogonal: reemplazamos tphi por -1/tphi */
G: ratsimp(subst(tphi = -1/tphi, F));

/* chequeo: -r^2/F debe coincidir con G */
ratsimp(-r^2/F - G);   /* debe dar 0 */

2.1 Aplicando la técnica a

(la última identidad se puede probar con algo de paciencia, sustituyendo , y usando las identidades del ángulo doble). Y eliminando de con :

Entonces la ecuación a resolver para la familia ortogonal es

Applet — simulación de la familia ortogonal, variando C

a (r=2a cos θ): C (r=C sin θ):

2.2 Un enfoque más elegante: el ángulo

Este enfoque (con ) no es el más acertado necesariamente. En vez de (ángulo de la tangente con el eje ), conviene trabajar con , el ángulo entre el radio vector y la recta tangente.

Applet — deducción de tan ψ con P, Q, N

dθ (ilustrativo, no infinitesimal real):

Al achicar dθ, el triángulo $OPQ$ se hace más y más parecido al triángulo rectángulo $PNQ$, con $PN\approx dr$ y $QN\approx r\,d\theta$ — de ahí $\tan\psi = r\,d\theta/dr$.

Analíticamente se comprueba con , sustituyendo (la fórmula de arriba) y , y simplificando (queda, después de algo de álgebra, , es decir ).

Como es perpendicular a y , la ecuación de las familias ortogonales, en esta notación, es

Si hacemos esto con : , y reemplazando obtenemos — esta es la forma en la que Simmons presenta la ecuación a resolver (no es una ecuación distinta a la de arriba, es la misma, solo escrita “boca abajo”).

Ejercicio

Usa esta manera de pensar (con ) para resolver el problema 3 (el de , en Familias Ortogonales) de una forma más elegante. Con esto ya puedes hacer todos los ejercicios de la sección.

3 Bonus: cálculo de área en coordenadas polares

Aproximamos el área bajo una curva con sectores circulares delgados: el área de cada sector de ángulo es , así que

Applet — aproximación por sectores

Número de sectores n:

3.1 Ejemplo — área de un pétalo de

Para :

Hacer las cuentas — código Maxima

kill(all);
integrate(1/2*sin(theta)^2, theta, 0, %pi/2);

Tarea

Dibujar a mano (y luego verificar en GeoGebra) y calcular el área del cardioide y del caracol , con . Terminar todos los ejercicios de la sección de curvas ortogonales.

Problemas de Movimiento

Arturo Sanjuán — Sun, 23 Aug 2026 05:00:00 GMT

1 De Galileo a Newton: la ecuación del movimiento

La segunda ley de Newton, en su versión abreviada, dice que la fuerza aplicada sobre un objeto es proporcional a la aceleración que produce, y la constante de proporcionalidad es la masa:

Esto es más profundo de lo que parece: si conocemos la fuerza, y la aceleración es una derivada (de hecho, la segunda derivada de la posición respecto al tiempo — ver la introducción del curso), entonces es una ecuación diferencial. Conocer la fuerza es conocer el movimiento.

Galileo demostró experimentalmente, usando planos inclinados, que la aceleración de un cuerpo que cae es constante e independiente de su masa: . Newton, con su ley de gravitación universal, explicó por qué: cerca de la superficie terrestre, la fuerza gravitacional sobre un objeto de masa es

y como también, la masa se cancela y queda para cualquier objeto — el resultado empírico de Galileo, ahora derivado de una ley más profunda.

2 Caída libre sin resistencia

Partiendo de e integrando dos veces:

Si el cuerpo cae desde el reposo () y tomamos el origen en el punto de partida (), con midiendo la distancia recorrida hacia abajo:

Eliminando entre las dos ecuaciones () se obtiene una relación directa entre velocidad y distancia recorrida, sin pasar por el tiempo:

La misma relación, vista como conservación de energía

Si en vez de cinemática pura usamos energía, con el origen de energía potencial en :

Es el mismo resultado por un camino distinto — un buen ejemplo de cómo la mecánica newtoniana y la conservación de energía son dos caras de la misma moneda para este tipo de problemas.

3 Caída libre con resistencia del aire

Experimentalmente, cuando hay resistencia del aire, la razón de cambio de la velocidad ya no es constante: decrece a medida que la velocidad aumenta. El modelo más simple (y sorprendentemente bueno) es que la fuerza de resistencia es proporcional a la velocidad, , lo que da

Esta es una EDO lineal de primer orden; su solución (con ) es

Cuando , — la velocidad terminal: a partir de cierto punto el cuerpo cae prácticamente a velocidad constante, porque la resistencia iguala al peso. Nota que si (sin resistencia) este fenómeno desaparece por completo y la velocidad crece sin cota, como en la sección anterior.

4 Ejercicio (Simmons) — lanzamiento vertical con resistencia proporcional a la velocidad

Una masa se lanza hacia arriba desde la superficie de la tierra con velocidad inicial . La resistencia del aire es proporcional a la velocidad, con constante . ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?

Planteamiento. Tomamos el eje positivo hacia arriba, con . La resistencia del aire siempre se opone al movimiento — así que su signo depende de si el cuerpo sube o baja. Pero si escribimos la fuerza de resistencia como (con la velocidad con signo, positiva hacia arriba), el signo se ajusta automáticamente: cuando (subiendo) la resistencia es negativa, hacia abajo; cuando (bajando) la resistencia es positiva, hacia arriba. Una sola ecuación describe todo el vuelo, sin necesidad de separar casos:

Resolviendo. Es lineal de primer orden. Con la condición inicial :

Integrando de nuevo, con :

Altura máxima. Ocurre cuando (el instante en que el cuerpo deja de subir):

Sustituyendo en y simplificando (los términos se cancelan de forma más limpia de lo que uno esperaría):

Un detalle conceptual: solo importa la razón k/m

Si defines (la resistencia por unidad de masa), las fórmulas de arriba se reescriben enteramente en términos de :

Es decir: la masa no afecta la trayectoria por sí sola, solo a través de . Dos objetos con la misma (mismo “arrastre por kilo”) suben exactamente igual de alto, sin importar cuánto pesen por separado — el mismo tipo de cancelación que ya vimos con en la caída libre.

¿Y el tiempo de caída hasta el suelo? Buscar tal que lleva a una ecuación trascendente (mezcla un término lineal en con uno exponencial): no tiene solución en forma cerrada, y hay que resolverla numéricamente.

Haciendo las cuentas con Maxima

kill(all);

/* Ecuación de movimiento: -mg - kv, válida en ascenso y descenso */
eq: 'diff(v(t),t) = -g - (k/m)*v(t);
gensol: ode2(eq, v(t), t);

/* imponer v(0) = vi despejando la constante de integración */
c_val: solve(subst(t=0, rhs(gensol)) = vi, %c)[1];
sol_v: radcan(subst(c_val, gensol));
vt_expr: rhs(sol_v);

/* posición, con x(0) = 0 */
xt_expr: radcan(integrate(vt_expr, t) - subst(t=0, integrate(vt_expr, t)));

/* tiempo de altura máxima y altura máxima */
tstar_expr: radcan(rhs(solve(vt_expr = 0, t)[1]));
hmax_expr: radcan(logcontract(subst(t=tstar_expr, xt_expr)));

/* ejemplo numérico: m=2 kg, k=0.5, g=9.8, v0=15 m/s */
vals: [m=2, k=0.5, g=9.8, vi=15];
vt(t) := ''(subst(vals, vt_expr));
xt(t) := ''(subst(vals, xt_expr));

tstar: find_root(vt(t), t, 0, 20);
tsuelo: find_root(xt(t), t, tstar, 20);   /* t_suelo: numérico, ecuación trascendente */
print("t* = ", tstar, "  x_max = ", float(xt(tstar)), "  t_suelo = ", tsuelo);

/* gráfica de la trayectoria hasta que toca el suelo */
load(draw);
draw2d(
  terminal = png, file_name = "trayectoria",
  xlabel = "t (s)", ylabel = "x (m)",
  explicit(xt(t), t, 0, tsuelo)
);

Simulador — trayectoria vertical con resistencia lineal

Velocidad inicial $v_0$ (m/s): 15 Resistencia por unidad de masa $\gamma=k/m$ (1/s): 0.25

Curva azul: $x(t)$ desde el lanzamiento hasta que toca el suelo, con escala vertical fija (0–90 m) para poder comparar de un ajuste a otro. El punto verde marca la altura máxima ($t^*=$ - s, $x_{max}=$ - m); el punto rojo marca la llegada al suelo ($t_{suelo}=$ - s, obtenido numéricamente — la ecuación es trascendente). Con $\gamma\to 0$ recuperas la parábola simétrica de la caída libre sin resistencia.

5 Tarea

Hacer los ejercicios 1 al 8 de la sección correspondiente del Simmons.

Familias Ortogonales

Arturo Sanjuán — Fri, 21 Aug 2026 05:00:00 GMT

1 Algo de geometría con ecuaciones diferenciales

Una familia paramétrica de curvas (un parámetro ) tiene, escondida, una ecuación diferencial: basta con derivar implícitamente y usar la ecuación original para eliminar el parámetro. Lo que queda es una ecuación que satisface cada curva de la familia — no importa cuál sea el valor de .

Esto es interesante porque la pendiente en un punto es un dato puramente geométrico. Y si conocemos la pendiente de una familia de curvas en cada punto del plano, también conocemos la pendiente de la familia perpendicular en cada punto: si una recta tiene pendiente , la perpendicular tiene pendiente . Entonces:

Resolver esta segunda ecuación diferencial da la familia de curvas que cruza a la primera siempre en ángulo recto, en cualquier punto donde se toquen.

Applet — el ejemplo más simple: circunferencias y rectas radiales

Radio r: Ángulo θ:

Las circunferencias $x^2+y^2=r^2$ (gris) son ortogonales a las rectas $y=mx$ que pasan por el origen (azul claro): el radio y la tangente a la circunferencia siempre son perpendiculares. Mueve los controles y observa el ángulo recto (verde) donde se cruzan.

2 Ejemplo 1 — Trayectorias ortogonales de una familia de parábolas (Ejercicio 1-b)

Esboce la familia y encuentre sus trayectorias ortogonales.

Por geometría analítica, cada curva de la familia es una parábola con vértice en el origen: si abre hacia arriba, si abre hacia abajo, si es el eje , y entre más grande más rápido crece (más “cerrada” la parábola).

Paso 1 — encontrar la ecuación diferencial de la familia. Derivamos implícitamente:

Esta ecuación todavía tiene el parámetro ; lo eliminamos usando la familia original, :

Paso 2 — familia ortogonal. Cambiamos por :

Es de variables separables:

Es una familia de elipses centradas en el origen, con semieje mayor (en ) y semieje menor (en ). Lo bonito: la excentricidad no depende de — todas las elipses de la familia son semejantes:

Haciendo las cuentas con Maxima

kill(all);
depends(y, x);

/* Familia original y su derivada implícita */
fam: y = C*x^2;
dfam: diff(fam, x);                    /* diff(y,x) = 2*C*x */

/* Eliminamos C usando la familia original */
Cval: solve(fam, C)[1];
ode_familia: ratsimp(subst(Cval, dfam));   /* diff(y,x) = 2*y/x */

/* Ecuación de la familia ortogonal: y' -> -1/y' */
ode_ortho: 'diff(y,x) = -x/(2*y);

/* Resolvemos (variables separables) */
sol: ode2(ode_ortho, y, x);

/* Excentricidad de la familia de elipses x^2 + 2y^2 = k,
   escrita como x^2/k + y^2/(k/2) = 1 */
a2: k; b2: k/2;
e: ratsimp(sqrt(1 - b2/a2));   /* -> 1/sqrt(2), no depende de k */

Applet — parábolas y elipses ortogonales

C (parábola $y=Cx^2$): k (elipse $x^2+2y^2=k$):

Parábolas de la familia (azul/gris) y elipses de la familia ortogonal (rojo/rosado). El marcador verde muestra el ángulo recto donde la parábola y la elipse seleccionadas se cruzan.

Ejercicio

Verifique con GeoGebra que la respuesta es correcta.

3 Ejemplo 2 — Una condición geométrica sobre la normal (Ejercicio 6-b)

Encuentre la familia de curvas tal que la proyección sobre el eje del segmento de la normal entre el punto de la curva y el eje tiene longitud 1.

Planteamiento. Si la curva satisface , la recta normal en tiene pendiente y ecuación

Esta recta corta al eje (donde ) en el punto que se despeja de

La proyección sobre el eje del segmento normal es justamente . Por hipótesis esto vale , y como :

Resolviendo: separando variables, , así

Es una familia de parábolas que abren hacia la derecha o hacia la izquierda.

Haciendo las cuentas con Maxima

kill(all);
depends(y, x);

/* La ecuación diferencial de la familia */
ode: y*'diff(y,x) = 1;
sol: ode2(ode, y, x);        /* y^2 = 2x + %c */

/* Verificación geométrica: para un punto (x0,y0) sobre y^2 = 2x,
   comprobamos que la normal corta al eje x exactamente en x0+1 */
curva: y^2 = 2*x;
pend: rhs(solve(diff(curva, x), diff(y,x))[1]);   /* pendiente y' = 1/y en general */
pend0: subst([x=x0, y=sqrt(2*x0)], pend);
pend_normal: -1/pend0;

/* Recta normal: 0 - y0 = pend_normal*(xx - x0), despejamos xx */
y0: sqrt(2*x0);
xx: solve(0 - y0 = pend_normal*(xxvar - x0), xxvar)[1];
ratsimp(rhs(xx) - x0);       /* debe dar exactamente 1 */

Applet — la condición geométrica en acción

Posición del punto $x_0$:

Curva $y^2=2x$ (azul), segmento normal en $(x_0,y_0)$ hasta el eje $x$ (rojo) y su proyección horizontal (verde). Mueve el control: la proyección mide siempre 1, sin importar dónde esté el punto — así es como se construyó la ecuación diferencial.

Explicación de cómo verificar en Geogebra

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Tarea

Página 17–18: 1-a, 1-d, 2, 5, 6-a,d,e,f. 7, 8. Página 49–6. Verifique sus respuestas en Geogebra.

Modelación con Ecuaciones Diferenciales

Arturo Sanjuán — Mon, 17 Aug 2026 05:00:00 GMT

1 Modelo — interés compuesto y el número

Las cajitas de Nu funcionan con interés compuesto capitalizado diariamente: el interés del día se calcula sobre el capital más el interés ya acumulado. Si la tasa efectiva anual es , la tasa diaria satisface

Con , despejando obtenemos , y la tasa nominal anual asociada es

Si es el número de días transcurridos y el capital inicial (sin nuevos aportes), el capital en el día es

¿Qué pasa si en vez de 365 capitalizamos veces, con ?

Esta es exactamente la pregunta que se hizo Jacob Bernoulli en 1683, estudiando el mismo problema de interés compuesto: ¿converge cuando ? Bernoulli mostró que sí, y que para el límite está entre 2 y 3 — el primer encuentro documentado con lo que hoy llamamos , sin nombre ni notación todavía.

Fue Euler, en 1748 (Introductio in analysin infinitorum), quien le dio el nombre , demostró que es irracional (vía fracciones continuas — la prueba rigurosa con la serie es de Fourier, 1815), y notó la propiedad crucial: . Es decir, satisface la ecuación diferencial .

Comparación numérica. Si depositamos $100.000 en una cajita a y lo dejamos un año:

Si en cambio capitalizáramos continuamente (el límite ), usando con la tasa nominal :

La diferencia es de apenas $135 sobre cien mil pesos en un año — el modelo continuo aproxima extraordinariamente bien al discreto, aun con solo 365 capitalizaciones.

De dónde sale la EDO

Si , entonces , es decir

El cambio fraccional (el error relativo) de respecto al tiempo es constante, y esa constante es justamente la tasa de interés nominal .

2 Ejercicio — tiempo para duplicar un capital

(Simmons, ejercicio 2, p. 27) Se invierte un capital a una tasa nominal anual , con capitalización continua. ¿Cuánto tiempo debe pasar para duplicar el capital inicial?

Partimos de , , cuya solución es . Queremos :

Para la tasa nominal de Nu ():

— poco más de 7 años y 8 meses.

Variante — ¿qué tasa se necesita para duplicar en exactamente 10 años? Despejamos de :

lo que corresponde a una tasa diaria y una tasa efectiva anual .

Haciendo las cuentas con Maxima

kill(all);

/* tiempo para duplicar, dada la tasa nominal r */
ode: 'diff(A,t) = r*A;
sol: ode2(ode, A, t);
sol: ic1(sol, t=0, A=P);
/* sol: A = P*%e^(r*t) */

/* despejar t tal que A = 2P */
t_duplicar: solve(2*P = rhs(sol), t);
ev(t_duplicar, r = 0.0897), numer;

/* variante: despejar r para duplicar en 10 años */
r_necesaria: solve(2*P = subst(t=10, rhs(sol)), r);
ev(r_necesaria), numer;

3 Modelo — crecimiento exponencial y el absurdo de Malthus

Un cultivo de bacterias se reproduce por fisión celular: en cada ciclo cada bacteria se divide en dos. Si empezamos con bacterias sincronizadas, tras ciclos hay

Un ejemplo que se vuelve absurdo. La E. coli se divide cada 20 minutos y vive (en cultivo) unos 10 días. Empezando con una sola bacteria, al cabo de 10 días habría aproximadamente bacterias. Comparando volúmenes (universo observable , una E. coli ), esa cantidad de bacterias llenaría el equivalente a universos observables. Absurdo — y la conclusión pedagógica es clara: los modelos puramente exponenciales solo son razonables en periodos cortos, mientras los recursos disponibles no sean una restricción real.

Pasando al modelo continuo. Si es la duración de un ciclo,

Dividiendo por y tomando el límite (usando como la tasa instantánea, que llamamos ), se llega a

Si la población crece sin cota; si decrece hacia cero; si es constante.

Malthus (1798) usó exactamente esta ecuación, , para argumentar que el crecimiento poblacional (geométrico) superaría inevitablemente al crecimiento de la producción de alimentos (que él asumía lineal) — de ahí su predicción de crisis recurrentes por hambruna, guerra o enfermedad (ver la nota histórica más abajo sobre qué tan literal era esa predicción). En Colombia, la tasa de crecimiento poblacional actual es de aproximadamente (1.02% anual).

Haciendo las cuentas con Maxima

kill(all);

/* fisión celular de E. coli: 10 días, ciclos de 20 min */
ciclos: 10*24*60/20;   /* 720 ciclos */
N_final: 2^ciclos;      /* ~2.9e216 */
float(N_final);

vol_universo: 4e80;      /* m^3 */
vol_ecoli: 1.3e-18;      /* m^3 */
universos_llenos: float(N_final*vol_ecoli/vol_universo);

/* modelo continuo N' = kN */
depends(N,t);
ode: 'diff(N,t) = k*N;
sol: ode2(ode, N, t);
sol: ic1(sol, t=0, N=N0);
/* sol: N = N0*%e^(k*t) */

4 Modelo — crecimiento logístico (con capacidad de carga)

(Ejercicio 10) El crecimiento exponencial ignora que los recursos son limitados. Si existe una capacidad de carga (el tamaño máximo que el entorno puede sostener), un modelo más realista es

Cuando es pequeño comparado con , el término y la ecuación se comporta casi como la exponencial pura; cuando se acerca a , el crecimiento se frena y se detiene.

Resolviendo por variables separables. Separando y usando fracciones parciales,

Exponenciando y aplicando la condición inicial , se llega a la forma cerrada

— la clásica curva sigmoide (forma de S): arranca cerca de , crece con concavidad hacia arriba, pasa por un punto de inflexión en , y se aplana asintóticamente hacia .

Haciendo las cuentas con Maxima — versión completa, paso a paso

kill(all);
depends(N,t);
diffeq: diff(N,t) = alpha*N*(K-N);
diffeq;

solucion: ode2(diffeq, N, t);
solucion: (logcontract(solucion)*K*alpha);
solucion: exp(lhs(solucion))=exp(rhs(solucion));
solucion: ic1(solucion, t=0, N=N0);
solucion: solve(solucion, N);
/* solucion: [N=(K*N0*%e^(K*alpha*t))/(N0*%e^(K*alpha*t)-N0+K)] */

/* IMPORTANTE: solve() siempre devuelve una LISTA, incluso con
   una sola solución. Hay que indexar solucion[1] antes de pedir rhs(). */
N_explicita: rhs(solucion[1]);

/* Chequeo rápido: en t=0 debe dar N0 */
ev(N_explicita, t=0);

/* Graficar: si plot2d abre una ventana interactiva (gnuplot_pipes),
   eso falla en un entorno sin pantalla (batch/consola) y plot2d
   devuelve "false" sin dibujar nada. La solución es forzar la
   salida a un archivo PNG en vez de una ventana: */
load(draw);
draw2d(
    explicit(ev(N_explicita, K=1, alpha=2, N0=0.2), t, 0, 5),
    xlabel = "t", ylabel = "N(t)",
    proportional_axes = 'xy,
    terminal = 'png,
    file_name = "logistica"
)$

/* Alternativa con plot2d clásico, forzando el terminal PNG a mano: */
plot2d(ev(N_explicita, K=1, alpha=2, N0=0.2), [t,0,5])$

Video explicativo

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Applet — la trampa de vs.

Al integrar hay dos antiderivadas igualmente válidas ( o , que difieren en una constante que la condición inicial absorbe), así que si tu cuenta a mano da un signo distinto al de Maxima, ambas pueden ser correctas — lo importante es que, tras aplicar la condición inicial, ambas dan exactamente la misma curva .

Simulador — curva logística (sigmoide) para distintos , y

Capacidad de carga $K$: 10 Tasa $\alpha$: 0.05 Población inicial $N_0$: 1 Ventana de tiempo $t_{max}$: 40

La curva roja es $N(t)=\dfrac{K}{1+\left(\frac{K-N_0}{N_0}\right)e^{-K\alpha t}}$. La línea gris punteada marca la capacidad de carga $K$; el punto verde marca el punto de inflexión en $N=K/2$. Prueba mover $N_0$ por encima de $K$: la curva decrece hacia $K$ en vez de crecer — el modelo funciona igual en ambos casos.

5 Modelo — decaimiento radioactivo

La descomposición radioactiva se rige por (), donde mide la cantidad de sustancia. La solución es , y la vida media (tiempo para que decaiga la mitad) satisface , de donde .

Ejercicio 13 — vida media de 20 días

Si la vida media de una sustancia radioactiva es 20 días, ¿cuánto tardará en decaer el 99% de la sustancia?

Con : . Que decaiga el 99% significa que queda el 1%:

Haciendo las cuentas con Maxima

kill(all);
tau: 20;
k: log(2)/tau;
t99: log(100)/k;
float(t99);   /* ~132.9 dias */

6 Modelo — mezclas en un tanque

Un tanque contiene 50 galones de salmuera con 75 libras de sal disueltas. Entra salmuera con 3 lb/gal a razón de 2 gal/min, y la mezcla (bien agitada) sale a la misma tasa de 2 gal/min. ¿Cuándo habrá 125 libras de sal en el tanque?

Sea la cantidad de sal (en libras) en el instante . Como el volumen se mantiene constante en 50 galones, la concentración de salida es lb/gal:

Separando variables:

Con : . Entonces

Buscamos tal que :

Haciendo las cuentas con Maxima

kill(all);
depends(x,t);
ode: 'diff(x,t) = 6 - x/25;
sol: ode2(ode, x, t);
sol: ic1(sol, t=0, x=75);
sol_t: solve(subst(x=125, sol), t);
float(rhs(sol_t[1]));   /* ~27.46 min */

Tarea

Hacer todos los ejercicios de esa sección, usando máxima para comprobar los resultados y teniendo cuidado con las magnitudes físicas.

Introducción

Arturo Sanjuán — Fri, 14 Aug 2026 05:00:00 GMT

1 Algo de historia

Época	Autor(es)	Aporte
~450 a.e.c.	Zenón	El movimiento es una ilusión
~350 a.e.c.	Aristóteles	Teleología del movimiento: todo se mueve por otro — el primer motor inmóvil
S. XVII	Newton (Principia, 1687)	Quiere describir el movimiento, el cambio. Para eso inventa el cálculo y las ecuaciones diferenciales: cómo cambian las cosas, en lugar de dónde están o por qué cambian
S. XVIII	Bernoulli (Jacob, Johann, Daniel)	La braquistócrona, la catenaria y la ecuación de onda
S. XVIII	Euler y Lagrange	Reformulan toda la mecánica
S. XIX	Laplace	El determinismo
S. XIX	Fourier	La ecuación del calor (teoría de funciones)
S. XIX	Picard–Lindelöf	La imposibilidad de encontrar, en general, una solución exacta
S. XIX	Poincaré	El estudio cualitativo de las ecuaciones
S. XX	Lorenz y Smale	Aparecen los sistemas dinámicos y la teoría del caos
S. XX	—	Aplicaciones a biología (poblaciones, crecimiento celular), economía, neurociencia (Hodgkin–Huxley–Nagumo), epidemiología (modelo SIR), química (quimiotaxis), física cuántica, formación de estrellas y agujeros negros

La idea central

El giro de Newton es el que define el curso: en lugar de preguntar dónde está algo o por qué cambia, una ecuación diferencial pregunta cómo cambia — y de ahí se reconstruye todo lo demás.

2 Ejercicios resueltos del Simmons

Ejercicio 1-j — Verificar una solución implícita

Verificar que es solución de

Derivamos implícitamente, pensando a como función de :

De la ecuación original, . Reemplazando:

Chequeo con Maxima

kill(all);
depends(y, x);
eq: x^2 = 2*y^2*log(y);
deq: diff(eq, x);
solve(deq, diff(y,x));

Ejercicio 2-q — Solución general de una ecuación separable

Encuentre la solución general de

Se puede escribir como , de donde

Integrando ambos lados:

Usando la identidad con :

Chequeo con Maxima

kill(all);
ode: 'diff(y,x) = -(1+y^2)/(1+x^2);
sol: ode2(ode, y, x);

Ejercicio 3-f — Problema de valor inicial con fracciones parciales

Encuentre la solución particular de

Hacemos fracciones parciales:

Igualando coeficientes:

De (2), . Sustituyendo en (3): . Sumando con (1): , luego y .

Chequeo con Maxima

kill(all);
ode: (x+1)*(x^2+1)*'diff(y,x) = 2*x^2+1;
sol: ode2(ode, y, x);
ic1(sol, x=0, y=1);

Como la ecuación es de primer orden, la condición inicial se fija con ic1, no con ic2 (esa es para ecuaciones de segundo orden, que necesitan y en el punto).

Integrando:

Con la condición : . Por tanto,

Ejercicio 4-b — Curva integral por un punto dado

Encuentre la curva integral que pasa por el punto , sabiendo que

Integrando directamente:

Con la condición : . La curva es

Chequeo con Maxima

kill(all);
ode: 'diff(y,x) = 2*x + 1/x;
sol: ode2(ode, y, x);
ic1(sol, x=1, y=1);

Gráfica con Maxima

kill(all);
y(x) := x^2 + log(x);

plot2d([y(x), [discrete, [[1,1]]]], [x, 0.05, 3],
       [style, [lines,2], [points,3,7]],
       [legend, "curva", "(1,1)"],
       [xlabel, "x"], [ylabel, "y"]);

Solucion que pasa por (1,1)

Tarea

Hacer los demás ejercicios de tarea, en especial el número 8.