2 El teorema de descomposición de Jordan

No toda función de distribución es puramente discreta ni puramente continua. El teorema siguiente muestra que, en general, cualquier función de distribución se descompone como combinación convexa de una parte discreta y una parte continua.

Demostración. Toda función monótona tiene a lo más una cantidad numerable de discontinuidades (hecho estándar de análisis real); en particular, tiene a lo más una cantidad numerable de saltos. Sean los puntos donde salta, y sea

la magnitud del salto en . Como es no decreciente y acotada entre y , la serie converge; definimos .

Si no hay saltos y ya es continua (). Si , definimos

Si entonces y ya terminamos. Si , definimos

En cualquier caso, , lo que demuestra el teorema.

2.1 Ejemplo: una distribución mixta

TipEjemplo

Sea una variable aleatoria con función de distribución

tiene un salto en de magnitud y otro en de magnitud (pues y ). Así, .

Parte discreta.

La función de masa asociada es y .

Parte continua. Para ,

es decir, es la función de distribución uniforme en : no tiene saltos, tal como exige el teorema.

Verificación: para . ✓

F <- function(x) ifelse(x < 1, 0, ifelse(x < 2, 1/2 + (x - 1)/4, 1))
curve(F, from = 0, to = 3, n = 1000, col = "steelblue", lwd = 2,
      xlab = "x", ylab = "F(x)")
points(c(1, 2), c(1/2, 1), pch = 19, col = "firebrick")
points(c(1, 2), c(0, 3/4), pch = 1, col = "firebrick")
abline(h = c(0, 1), lty = 3, col = "gray60")

3 Algunas distribuciones discretas notables

En esta sección repasamos las distribuciones discretas de uso más frecuente. En todos los casos, la función de masa se deduce contando: se trata siempre de identificar cuántos resultados elementales, en algún espacio de Laplace subyacente, producen cada valor de la variable.

3.3 Binomial

Si repetimos veces, de forma independiente, un ensayo de Bernoulli con probabilidad de éxito , y cuenta el número total de éxitos, entonces tiene distribución binomial de parámetros y :

El coeficiente cuenta todas las formas de elegir cuáles de los ensayos resultan exitosos; una vez elegidos, la probabilidad de esa secuencia particular es por independencia.

ImportanteEs, en efecto, una función de masa

Por el teorema del binomio de Newton,

TipEjemplo: examen de opción múltiple

Un examen de opción múltiple tiene preguntas, cada una con opciones. Un estudiante contesta al azar. ¿Cuál es la probabilidad de pasar, si pasar requiere al menos respuestas correctas?

Cada pregunta es un ensayo de Bernoulli con . Si es el número de respuestas correctas, y

En R, 1 - pbinom(5, 10, 1/5) (equivalentemente, pbinom(5, 10, 1/5, lower.tail = FALSE)).

k <- 0:10
p <- dbinom(k, size = 10, prob = 1/5)
barplot(p, names.arg = k, col = ifelse(k >= 6, "firebrick", "steelblue"),
        border = "white", xlab = "k", ylab = "P(K = k)")

3.4 Poisson, como límite de la binomial

¿Qué ocurre con la binomial cuando y de tal manera que el número esperado de éxitos se mantiene fijo, digamos ?

TipTeorema (Poisson como límite de la binomial)

Si y cuando , entonces para cada fijo,

Idea de la demostración. Escribiendo y usando ,

El primer factor tiende a (es un producto de términos, cada uno de la forma ), el segundo tiende a , y el tercero tiende a (el límite clásico ; cambiar el exponente de a no afecta el límite).

Esto motiva la definición: tiene distribución Poisson de parámetro si

NotaEjercicio

Verifique que, en efecto, (use la serie de Taylor de ).

ImportanteNota histórica

Poisson presentó esta distribución en 1837, en su tratado Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, en el contexto de estimar la probabilidad de error en veredictos de jurados.

TipEjemplo: la sala de cómputo

En una sala de cómputo hay computadores. En horas pico, la probabilidad de que un computador esté ocupado es . ¿Cuál es la probabilidad de encontrar al menos un computador desocupado?

Cálculo exacto. Sea el número de computadores ocupados; , y “ningún computador desocupado” es el evento :

Aproximación Poisson. Como lo raro aquí es que un computador esté libre (), llamamos al número de computadores libres, con :

La aproximación () se acerca razonablemente al valor exacto (), aunque aquí no es tan pequeño ni tan grande como para que la aproximación sea excelente.

x <- 0:12
exacta <- dbinom(x, size = 20, prob = 0.1)
aprox <- dpois(x, lambda = 2)
plot(x, exacta, type = "h", lwd = 6, col = "steelblue",
     xlab = "número de computadores libres", ylab = "probabilidad")
points(x + 0.15, aprox, type = "h", lwd = 6, col = "firebrick")
legend("topright", legend = c("Binomial(20, 0.1) exacta", "Poisson(2) aproximada"),
       col = c("steelblue", "firebrick"), lwd = 6, bty = "n")

NotaEjercicios del libro

Haga los ejercicios de la sección 3.4 del libro de Blanco relacionados con binomial y Poisson.

r <- 3
p <- 0.3
k <- 8

# fórmula de esta sección: P(X = k) = C(k-1, r-1) p^r (1-p)^(k-r)
manual <- choose(k - 1, r - 1) * p^r * (1 - p)^(k - r)

# equivalente en R: dnbinom cuenta fracasos, así que x = k - r
r_base <- dnbinom(k - r, size = r, prob = p)

manual

[1] 0.09529569

r_base

[1] 0.09529569

4 Panel interactivo: distribuciones discretas

El siguiente panel calcula, de forma exacta y no por simulación, la función de masa y la función de distribución acumulada de las siete distribuciones vistas en esta sección. Elija una distribución, mueva los parámetros y compare cómo cambia la forma de cada función; para las distribuciones de soporte infinito (Poisson, geométrica, binomial negativa) la cola se trunca al llegar a una cobertura de probabilidad cercana a 1, y el panel lo indica explícitamente cuando eso ocurre.

1.1 Ejemplo: la distribución uniforme continua

Para , la función

es claramente una función de densidad (es no negativa, y su integral en vale ), con función de distribución

Se nota .

par(mfrow = c(1, 2))
curve(dunif(x, 2, 5), from = 0, to = 7, n = 1000, col = "steelblue", lwd = 2,
      xlab = "x", ylab = expression(f[X](x)), main = "Densidad")
curve(punif(x, 2, 5), from = 0, to = 7, n = 1000, col = "firebrick", lwd = 2,
      xlab = "x", ylab = expression(F[X](x)), main = "Distribución")

2 Interludio analítico: la función Gamma

Antes de motivar y definir la distribución normal necesitamos dos herramientas: la función Gamma (que generaliza el factorial a los reales positivos) y, a partir de ella, la fórmula de Stirling, que usaremos más adelante para deducir la aproximación normal a la Poisson y a la binomial.

3 Fórmula de Stirling (informal), vía el método de Laplace

Necesitamos, para más adelante, saber cómo se comporta cuando es grande. La técnica que usamos para deducirlo (aproximar una función suave y muy picuda por una parábola alrededor de su máximo) es la misma que reutilizaremos después para la aproximación normal a la Poisson y a la binomial, así que vale la pena verla aquí primero, en su forma más simple.

Partimos de . El exponente satisface , que es cero exactamente en : ahí el integrando alcanza su máximo.

Hacemos el cambio de variable :

Sea . Como , alcanza su máximo en , donde y . Taylor de orden alrededor de da

Para grande, decrece muy rápido lejos de , así que la contribución de la integral está concentrada cerca de , y podemos reemplazar por su aproximación cuadrática y extender la integral a toda la recta:

Con (integral gaussiana, ya calculada arriba: ),

4 La distribución normal

5 Un repaso intuitivo: media y varianza

Antes de seguir, vale la pena detenerse un momento en qué miden y en la fórmula de arriba, más allá de ser “parámetros”.

Si es una variable aleatoria discreta con valores posibles , la media de es el promedio de esos valores, ponderado por qué tan probable es cada uno:

Es útil pensarla como un centro de masa: si en cada punto de la recta real colocaras una pesa de tamaño , es el punto exacto donde la balanza queda equilibrada. No es necesariamente un valor que pueda tomar (el promedio de caras en dos lanzamientos de moneda es , que sí es alcanzable, pero el promedio del resultado de un dado es , que no lo es), es simplemente el centro alrededor del cual se reparte la probabilidad.

La varianza mide qué tan dispersos están los valores posibles alrededor de esa media:

Es el promedio, otra vez ponderado por probabilidad, de qué tan lejos (al cuadrado) cae cada valor posible respecto al centro de masa. Se eleva al cuadrado por dos razones: para que las desviaciones por encima y por debajo de la media no se cancelen entre sí al sumarlas, y para penalizar más las desviaciones grandes que las pequeñas. La raíz cuadrada de la varianza, , se llama desviación estándar, y tiene la ventaja de quedar en las mismas unidades que (si mide milímetros, también mide milímetros, mientras que quedaría en milímetros al cuadrado, una cantidad sin interpretación física directa). Por eso, cuando se quiere describir qué tan disperso es algo en las unidades originales del problema, se cita , no .

En la normal, y son exactamente estos dos números: ubica el centro (y el único pico) de la curva, y controla qué tan ancha o angosta es. Dos normales con la misma pero distinta están centradas en el mismo punto, pero una es más alta y angosta (varianza chica) y la otra más baja y extendida (varianza grande), siempre con área total debajo de la curva.

curve(dnorm(x, 0, 0.5), from = -6, to = 6, n = 1000, col = "steelblue", lwd = 2,
      xlab = "x", ylab = "densidad", ylim = c(0, 0.85))
curve(dnorm(x, 0, 1), add = TRUE, col = "firebrick", lwd = 2, n = 1000)
curve(dnorm(x, 0, 2), add = TRUE, col = "darkgreen", lwd = 2, n = 1000)
legend("topright", legend = c("sigma = 0.5", "sigma = 1", "sigma = 2"),
       col = c("steelblue", "firebrick", "darkgreen"), lwd = 2, bty = "n")

6 La regla empírica: 68, 95 y 99.7 por ciento

Una consecuencia directa de la forma de la curva normal (y que vale para cualquier , gracias a la estandarización) es qué tan concentrada está la probabilidad alrededor de la media, medida en unidades de :

for (k in 1:3) {
  cat("P(|Z| <=", k, ") =", round(pnorm(k) - pnorm(-k), 4), "\n")
}

P(|Z| <= 1 ) = 0.6827 
P(|Z| <= 2 ) = 0.9545 
P(|Z| <= 3 ) = 0.9973 

7 Ejemplo aplicado: control de calidad en fabricación

mu <- 50; sigma <- 0.5
cat("P(49<=X<=51)  =", round(pnorm(51, mu, sigma) - pnorm(49, mu, sigma), 4), "\n")

P(49<=X<=51)  = 0.9545 

cat("P(X > 51.5)   =", round(1 - pnorm(51.5, mu, sigma), 5), "\n")

P(X > 51.5)   = 0.00135 

1 La normal como límite de una Poisson

cat("P(X<=10)  =", ppois(10, 200), "\n")

P(X<=10)  = 4.109585e-71 

cat("P(X<=200) =", round(ppois(200, 200), 4), "\n")

P(X<=200) = 0.5188 

2 La normal como límite de una binomial

3 Ejemplo: cien lanzamientos de una moneda justa

exacto <- pbinom(55, 100, 0.5) - pbinom(44, 100, 0.5)
sin_cc <- pnorm(1) - pnorm(-1)
con_cc <- pnorm(1.1) - pnorm(-1.1)
cat("Exacto (binomial)               :", round(exacto, 4), "\n")

Exacto (binomial)               : 0.7287 

cat("Aprox. normal, sin correccion   :", round(sin_cc, 4), "\n")

Aprox. normal, sin correccion   : 0.6827 

cat("Aprox. normal, con correccion   :", round(con_cc, 4), "\n")

Aprox. normal, con correccion   : 0.7287 

4 Panel interactivo: de la binomial y la Poisson a la normal

El siguiente panel muestra, lado a lado, la función de masa de una Binomial o de una Poisson (según se elija) y la densidad normal con la misma media y varianza. Mueva los parámetros para ver cómo, a medida que (o ) crece, las barras se acomodan cada vez mejor debajo de la curva.

2 Una σ-álgebra generada por una variable aleatoria (ejercicio 2.2)

Sea . Determinar la menor σ-álgebra sobre con respecto a la cual es una variable aleatoria real.

En otras palabras, queremos , la σ-álgebra generada sobre por . Por la observación anterior, basta con enviar hacia atrás los conjuntos , :

Como , basta distinguir en qué intervalo cae :

Rango de		Preimagen
	ningún

Así que la familia generadora directa es . Ahora cerramos bajo las operaciones de σ-álgebra:

Complementos: , , .

Uniones (para aislar los singletons restantes):

3 La distribución de una variable aleatoria

4 Probabilidades en un espacio Laplaciano (ejercicio 2.4)

Sea un espacio Laplaciano (cada resultado con probabilidad ) y la variable aleatoria dada por la tabla de valores del enunciado (Blanco Castañeda, ejercicio 2.4).

Con la tabla completa, se pide calcular:

5 Función de distribución: propiedades

Demostración de la continuidad a derecha. es continua a derecha en si para toda sucesión que decrece a , .

Sea decreciente con . Definamos . Como es decreciente, es una sucesión decreciente de conjuntos: . Afirmamos que (verifique)

Con esto,

donde la penúltima igualdad usa la continuidad de respecto a sucesiones decrecientes de conjuntos (vista en la sección de introducción).

6 Una función de distribución para un lanzamiento de monedas (ejercicio 2.6)

Se lanza una moneda corriente cuatro veces consecutivas. Sea el número de caras obtenidas. Hallar y graficar la función de distribución de .

toma valores en Entonces

es decir , , .

Como , toma valores en con las mismas probabilidades (solo se recorre el índice). Sumando acumulativamente:

y_vals <- c(-2, -1, 0, 1, 2)
p <- c(1, 4, 6, 4, 1) / 16
Fy <- stepfun(y_vals, c(0, cumsum(p)))

plot(Fy, xlim = c(-3, 3), ylim = c(0, 1),
     xlab = "y", ylab = expression(F[Y](y)),
     main = "", do.points = TRUE, pch = 19, col = "steelblue",
     verticals = TRUE)
abline(h = c(0, 1), lty = 3, col = "gray60")

1 Espacio muestral y una σ-álgebra más pequeña

Se extraen 3 bombillos de la producción (ya mezclada) y se clasifica cada uno como defectuoso “D” o no defectuoso “N”. Sea y, para ,

1. Describan por extensión los eventos , y .
2. Sea la función que cuenta el número total de bombillos defectuosos entre los tres extraídos. Usando el resultado ya demostrado en clase sobre la preimagen de una σ-álgebra (si es una σ-álgebra sobre y , entonces es una σ-álgebra sobre ), identifiquen explícitamente Listen los átomos de (los subconjuntos no vacíos más pequeños de que pertenecen a ).
3. Muestren que es estrictamente más pequeña que : exhiban un evento de que no pertenezca a , y expliquen en una frase por qué la información de (cuántos, no cuáles) no alcanza para reconstruirlo.

2 Un lote ya fabricado (modelo de Laplace)

Ahora cambien de modelo: un lote ya fabricado y en bodega tiene bombillos, de los cuales son defectuosos. Esta vez el defecto ya está fijo en cada bombillo del lote; no hay ningún mecanismo aleatorio en curso, solo incertidumbre sobre cuáles bombillos tocan en la muestra. Un inspector extrae, sin reemplazo, una muestra de bombillos.

1. Calculen la probabilidad de que la muestra contenga exactamente 2 defectuosos.
2. Calculen la probabilidad de que la muestra no contenga ningún defectuoso, y usen esto para obtener la probabilidad de que contenga al menos uno.

3 El proceso de fabricación (probabilidad total y Bayes)

Modelen ahora el proceso mismo de fabricación, bombillo por bombillo: cada bombillo se produce en la línea 1 con probabilidad o en la línea 2 con probabilidad . Dado que se produjo en la línea 1, la probabilidad de que sea defectuoso es ; dado que se produjo en la línea 2, es . Sea el evento “el bombillo es defectuoso” y , los eventos “se produjo en la línea 1 (2)”.

1. Calculen usando el teorema de la probabilidad total.
2. Un bombillo elegido al azar de la producción resulta defectuoso. Calculen usando el teorema de Bayes.
3. Calculen (dado que el bombillo no es defectuoso, la probabilidad de que venga de la línea 1). Comparen este número con y comenten, en una frase, qué les dice la diferencia.

4 ¿Cuándo son independientes?

1. Verifiquen, con los datos de la sección anterior, si y son eventos independientes.
2. Ahora generalicen. Con fijo, , y tasas de falla arbitrarias (no necesariamente y ), determinen para qué relación entre y los eventos y resultan independientes. Demuestren su respuesta algebraicamente a partir de la definición de independencia (no verifiquen un caso: derive la condición general).
3. En una frase: ¿por qué el resultado del numeral anterior no depende de ? ¿Qué les dice esto sobre qué es lo que realmente vuelve informativo saber de qué línea vino un bombillo?

5 Verdadero o falso, justificando

Para cada afirmación, indiquen si es verdadera o falsa y justifiquen. No se aceptan respuestas sin justificación.

1. Si y son eventos mutuamente excluyentes y ambos tienen probabilidad positiva, entonces y son independientes.
2. Si y son eventos independientes, entonces y también lo son.
3. Si es finito y no es inyectiva, entonces es igual a .
4. Si es una sucesión decreciente de eventos con (es decir, ), entonces .

2 Ejercicio 1.27 — reyes y ases en una mano de 13 cartas

Considere una mano de 13 cartas repartidas de una baraja de 52. Sean

Con esto, la probabilidad condicional pedida es directa:

3 Teorema de la probabilidad total

Demostración. Como es una partición, y por lo tanto

Los conjuntos son disyuntos dos a dos (porque los lo son), así que por σ-aditividad

4 Corolario — teorema de Bayes

Demostración. Por definición de probabilidad condicional y la regla del producto,

y el denominador se reescribe con el teorema de la probabilidad total.

5 Ejemplo — prueba diagnóstica

Una prueba de tamizaje para una enfermedad tiene sensibilidad y especificidad . La prevalencia es . Un paciente da positivo. ¿?

Partición , teorema de la probabilidad total:

Bayes:

6 Independencia

Dos eventos se dicen independientes si

En caso contrario, son dependientes.

7 Teorema — independencia se hereda a los complementos

Demostración. Escribimos como unión disyunta:

Como la unión es disyunta,

Usando independencia de en el primer término y despejando:

1.1 Regla del producto

Si un proceso consiste en dos elecciones sucesivas (o en paralelo), y la primera tiene opciones y la segunda opciones, el número de resultados posibles del proceso combinado es .

1.2 Permutaciones

Si necesitamos ordenar objetos elegidos de un conjunto de elementos, para la primera posición hay opciones, para la segunda , …, para la -ésima quedan . En total:

(Note que es el caso particular .)

1.3 Combinaciones

Si el orden no importa, cada subconjunto de tamaño fue contado veces en el conteo anterior (una vez por cada reordenación posible de sus elementos).

Como cada subconjunto se contó veces, dividimos:

1.4 Coeficientes multinomiales

Supongamos que tenemos objetos y categorías (etiquetas, colores), y queremos partirlos ordenadamente en subgrupos de tamaños con . Elegimos el primer grupo ( formas), luego el segundo de lo que queda ( formas), y así sucesivamente. El producto telescopa:

Note que si , : el binomial es el caso particular de dos categorías.

2 Ejemplo — placas de carros en Colombia

Las placas de los vehículos particulares en Colombia tienen el formato ABC 123: tres letras seguidas de tres números. Usamos el alfabeto de 26 letras (sin contar la Ñ). Suponga que las placas se generan de forma aleatoria y uniforme sobre todas las combinaciones posibles.

3 Una medida de probabilidad construida como mezcla

Demostración. La no negatividad de y son inmediatas. Para la σ-aditividad, sea una familia disyunta dos a dos de elementos de . Entonces

Como los términos son no negativos, la serie doble converge absolutamente y podemos intercambiar el orden de las sumas:

4 Ejercicio — partición de un grupo en subgrupos iguales

5 Ejemplo — el chance: directo y combinado

Recuerde que el chance consiste en acertar las últimas cifras del número ganador de una lotería o sorteo autorizado. Para cifras, el sorteo saca una de secuencias posibles, todas igualmente probables.

TipCombinado

Ganar el combinado requiere que las cifras salgan en cualquier orden. El número de secuencias favorables depende de cuántas de las tres cifras elegidas se repiten:

Cifras elegidas	Permutaciones distintas	Probabilidad
Las tres distintas (ej. )
Dos iguales (ej. )
Las tres iguales (ej. )

6 Ejercicio — comparando probabilidades raras

1.1 Ejemplo 1 — Lanzar una moneda

1.2 Ejemplo 2 — Tiempo de espera hasta la primera cara

El experimento aleatorio es: el número de veces que es necesario lanzar una moneda hasta obtener por primera vez cara. El espacio muestral natural es

Note que un mismo experimento puede tener distintos espacios muestrales. Por ejemplo,

también funciona (registrando la sucesión completa de lanzamientos, con cara y sello, en lugar de solo el tiempo de espera).

1.3 Ejemplo 3 — Lanzar dos dados

2 σ-álgebras

set.seed(1)
n_max <- 2000
lanzamientos <- sample(c(1, 0), n_max, replace = TRUE)  # 1 = cara
frecuencia_acumulada <- cumsum(lanzamientos) / seq_len(n_max)

plot(frecuencia_acumulada, type = "l",
     xlab = "número de lanzamientos", ylab = "frecuencia relativa de caras",
     main = "Convergencia de la frecuencia a p = 1/2")
abline(h = 0.5, col = "red", lty = 2)

La curva oscila y se va estabilizando alrededor de : el fenómeno empírico que la Ley de los Grandes Números justifica formalmente. La simulación exhibe la convergencia; no la explica — eso lo hace el teorema.

3 Continuidad de la probabilidad

A continuación vamos a explicar cómo se demuestra que si es una sucesión creciente de elementos de , con un espacio de probabilidad, entonces

Cuando tenemos una sucesión creciente de conjuntos, escribimos .

La estrategia consiste en escribir como la unión de una familia disyunta:

de modo que , y los son disyuntos dos a dos (usamos que si entonces ).

Como , entonces

Resumiendo:

4 ¿Por qué la probabilidad puntual falla en espacios no numerables?

En un espacio de probabilidad discreto podemos determinar la probabilidad sumando masas puntuales:

Pero veamos que no podemos definir la probabilidad así si el conjunto no es numerable (por ejemplo, o ).

Supongamos que sí se pudiera. Sea

Es claro que .

5 Probabilidad de Laplace