Integración numérica
La fórmula del trapecio como integral del interpolante lineal a trozos y su error de truncamiento.
Vamos a usar la interpolación lineal a trozos para integrar numéricamente. Seguimos la sección 5.6 del libro de Driscoll y Braun.
1 La fórmula del trapecio
Sea \(f\) una función en \([a,b]\). Tomamos los nodos equiespaciados \(t_k=a+kh\), \(k=0,\dots,n\), con \(h=\dfrac{b-a}{n}\), y reemplazamos \(f\) por su interpolante lineal a trozos \(p\). El siguiente tablero muestra ese reemplazo para tres funciones, y permite aumentar el número de nodos.
Como se ve en la figura, la integral de \(f\) se parece bastante bien a la integral del interpolante PL. Esto es,
\[\int_a^b f(x)\,dx\approx\int_a^b\sum_{k=0}^{n}f(t_k)\,H_k(x)\,dx=\sum_{k=0}^{n}f(t_k)\int_a^b H_k(x)\,dx,\]
donde \(H_k\) son las funciones sombrero. Cada sombrero interior es un triángulo de altura \(1\) y base \(2h\), y los dos de los extremos son triángulos de altura \(1\) y base \(h\), así que
\[\int_a^b H_k(x)\,dx=h\,w_k,\qquad w_k=\begin{cases} \dfrac12, & k=0\ \text{ o }\ k=n,\\[2mm] 1, & k=1,\dots,n-1. \end{cases}\]
Entonces
\[\int_a^b f(x)\,dx\approx h\Big[\tfrac12 f(t_0)+f(t_1)+\cdots+f(t_{n-1})+\tfrac12 f(t_n)\Big]=h\sum_{k=0}^{n}w_k f(t_k)=T_f(h).\tag{1}\]
La fórmula del trapecio con \(n\) subintervalos para la integral de \(f\) en \([a,b]\) es el número \(T_f(h)\) dado por (1). Es el área de los \(n\) trapecios que forma el interpolante lineal a trozos de \(f\) en los nodos \(t_0,\dots,t_n\).
2 El error de truncamiento
El error de truncamiento en este caso es
\[\tau_f(h)=\int_a^b f(x)\,dx-h\sum_{k=0}^{n}w_k f(t_k).\]
Si \(I\) es la integral, entonces \(\tau_f(h)=I-T_f(h)=\displaystyle\int_a^b (f-p)\,dx\), y por lo tanto
\[|I-T_f(h)|\le(b-a)\,\|f-p\|_\infty\le(b-a)\,O(h^2).\]
La última desigualdad usa el teorema de convergencia de la interpolación lineal a trozos: si \(f\) tiene segunda derivada continua, \(\|f-p\|_\infty\le\|f''\|_\infty h^2\). Es decir, el error algebraico del trapecio es de orden \(2\).
3 Un ejemplo con la distribución normal
Hagamos un ejemplo con calculadora. Sabemos que, si \(X\sim N(0,1)\),
\[P(-1\le X\le 1)\approx 0{,}6827,\]
y por definición
\[P(-1\le X\le 1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-1}^{1}e^{-x^2/2}\,dx.\]
Sea \(f(x)=e^{-x^2/2}\). Con \(n=2\) se tiene \(h=1\) y los nodos \(-1\), \(0\) y \(1\):
\[\begin{aligned} P(-1\le X\le 1)&\approx\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Big(\tfrac12 f(-1)+f(0)+\tfrac12 f(1)\Big)\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\big(f(1)+f(0)\big)\\ &\approx 0{,}6409. \end{aligned}\]
Nada mal para tratarse de solo \(3\) nodos. Si ponemos \(5\) nodos, es decir \(n=4\) y \(h=\tfrac12\), queda
\[\begin{aligned} P(-1\le X\le 1)&\approx\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\frac12\Big[\tfrac12 f(-1)+f(-\tfrac12)+f(0)+f(\tfrac12)+\tfrac12 f(1)\Big]\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\frac12\Big(f(1)+f(0)+2f(\tfrac12)\Big)\\ &\approx 0{,}6725. \end{aligned}\]
El error pasó de cerca de \(0{,}042\) a cerca de \(0{,}010\): al duplicar \(n\) se dividió entre unos \(4\), como corresponde a un método de orden \(2\). Estos dos cálculos se pueden reproducir en el tablero con la gaussiana y \(n=2\) y \(n=4\).
Haga todos los ejercicios de la sección 5.6 de Fundamentals of Numerical Computation que mencionen el trapecio, disponibles en https://fncbook.com/julia/integration#exercises. Demuestre que si \(f\) no cambia de signo, el condicionamiento del trapecio es \(1\).