Problemas de Movimiento
Caída libre, resistencia del aire y la altura máxima de un lanzamiento vertical
1 De Galileo a Newton: la ecuación del movimiento
La segunda ley de Newton, en su versión abreviada, dice que la fuerza aplicada sobre un objeto es proporcional a la aceleración que produce, y la constante de proporcionalidad es la masa:
\[F = ma\]
Esto es más profundo de lo que parece: si conocemos la fuerza, y la aceleración es una derivada (de hecho, la segunda derivada de la posición respecto al tiempo — ver la introducción del curso), entonces \(F=ma\) es una ecuación diferencial. Conocer la fuerza es conocer el movimiento.
Galileo demostró experimentalmente, usando planos inclinados, que la aceleración de un cuerpo que cae es constante e independiente de su masa: \(g\approx 9.8\ \text{m/s}^2\). Newton, con su ley de gravitación universal, explicó por qué: cerca de la superficie terrestre, la fuerza gravitacional sobre un objeto de masa \(m\) es
\[F = mg\]
y como \(F=m\ddot x\) también, la masa se cancela y queda \(\ddot x = g\) para cualquier objeto — el resultado empírico de Galileo, ahora derivado de una ley más profunda.
2 Caída libre sin resistencia
Partiendo de \(\ddot x = g\) e integrando dos veces:
\[\dot x(t) = gt + v_0, \qquad x(t) = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}gt^2\]
Si el cuerpo cae desde el reposo (\(v_0=0\)) y tomamos el origen en el punto de partida (\(x_0=0\)), con \(x\) midiendo la distancia recorrida hacia abajo:
\[x(t) = \frac{1}{2}gt^2, \qquad v(t) = gt\]
Eliminando \(t\) entre las dos ecuaciones (\(t=v/g\)) se obtiene una relación directa entre velocidad y distancia recorrida, sin pasar por el tiempo:
\[v = \sqrt{2gx}\]
Si en vez de cinemática pura usamos energía, con el origen de energía potencial en \(x=0\):
\[\frac{1}{2}mv^2 - mgx = 0 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{2gx}\]
Es el mismo resultado por un camino distinto — un buen ejemplo de cómo la mecánica newtoniana y la conservación de energía son dos caras de la misma moneda para este tipo de problemas.
3 Caída libre con resistencia del aire
Experimentalmente, cuando hay resistencia del aire, la razón de cambio de la velocidad ya no es constante: decrece a medida que la velocidad aumenta. El modelo más simple (y sorprendentemente bueno) es que la fuerza de resistencia es proporcional a la velocidad, \(F_{\text{res}} = -cv\), lo que da
\[\dot v = g - cv\]
Esta es una EDO lineal de primer orden; su solución (con \(v(0)=0\)) es
\[v(t) = \frac{g}{c}\left(1-e^{-ct}\right)\]
Cuando \(t\to\infty\), \(v\to g/c\) — la velocidad terminal: a partir de cierto punto el cuerpo cae prácticamente a velocidad constante, porque la resistencia iguala al peso. Nota que si \(c=0\) (sin resistencia) este fenómeno desaparece por completo y la velocidad crece sin cota, como en la sección anterior.
4 Ejercicio (Simmons) — lanzamiento vertical con resistencia proporcional a la velocidad
Una masa \(m\) se lanza hacia arriba desde la superficie de la tierra con velocidad inicial \(v_0\). La resistencia del aire es proporcional a la velocidad, con constante \(k\). ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?
Planteamiento. Tomamos el eje \(x\) positivo hacia arriba, con \(x(0)=0\). La resistencia del aire siempre se opone al movimiento — así que su signo depende de si el cuerpo sube o baja. Pero si escribimos la fuerza de resistencia como \(-kv\) (con \(v\) la velocidad con signo, positiva hacia arriba), el signo se ajusta automáticamente: cuando \(v>0\) (subiendo) la resistencia es negativa, hacia abajo; cuando \(v<0\) (bajando) la resistencia es positiva, hacia arriba. Una sola ecuación describe todo el vuelo, sin necesidad de separar casos:
\[m\dot v = -mg - kv \qquad\Longrightarrow\qquad \dot v + \frac{k}{m}v = -g\]
Resolviendo. Es lineal de primer orden. Con la condición inicial \(v(0)=v_0\):
\[v(t) = \left(v_0+\frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{k}{m}t} - \frac{mg}{k}\]
Integrando de nuevo, con \(x(0)=0\):
\[x(t) = \frac{m}{k}\left(v_0+\frac{mg}{k}\right)\left(1-e^{-\frac{k}{m}t}\right) - \frac{mg}{k}\,t\]
Altura máxima. Ocurre cuando \(v(t^*)=0\) (el instante en que el cuerpo deja de subir):
\[t^* = \frac{m}{k}\log\left(1+\frac{kv_0}{mg}\right)\]
Sustituyendo \(t^*\) en \(x(t)\) y simplificando (los términos se cancelan de forma más limpia de lo que uno esperaría):
\[\boxed{x_{\max} = \frac{mv_0}{k} - \frac{m^2g}{k^2}\log\left(1+\frac{kv_0}{mg}\right)}\]
Si defines \(\gamma = k/m\) (la resistencia por unidad de masa), las fórmulas de arriba se reescriben enteramente en términos de \(\gamma\):
\[t^* = \frac{1}{\gamma}\log\left(1+\frac{\gamma v_0}{g}\right), \qquad x_{\max} = \frac{v_0}{\gamma} - \frac{g}{\gamma^2}\log\left(1+\frac{\gamma v_0}{g}\right)\]
Es decir: la masa no afecta la trayectoria por sí sola, solo a través de \(\gamma=k/m\). Dos objetos con la misma \(k/m\) (mismo “arrastre por kilo”) suben exactamente igual de alto, sin importar cuánto pesen por separado — el mismo tipo de cancelación que ya vimos con \(F=mg\) en la caída libre.
¿Y el tiempo de caída hasta el suelo? Buscar \(t_{\text{suelo}}>t^*\) tal que \(x(t_{\text{suelo}})=0\) lleva a una ecuación trascendente (mezcla un término lineal en \(t\) con uno exponencial): no tiene solución en forma cerrada, y hay que resolverla numéricamente.
kill(all);
/* Ecuación de movimiento: -mg - kv, válida en ascenso y descenso */
eq: 'diff(v(t),t) = -g - (k/m)*v(t);
gensol: ode2(eq, v(t), t);
/* imponer v(0) = vi despejando la constante de integración */
c_val: solve(subst(t=0, rhs(gensol)) = vi, %c)[1];
sol_v: radcan(subst(c_val, gensol));
vt_expr: rhs(sol_v);
/* posición, con x(0) = 0 */
xt_expr: radcan(integrate(vt_expr, t) - subst(t=0, integrate(vt_expr, t)));
/* tiempo de altura máxima y altura máxima */
tstar_expr: radcan(rhs(solve(vt_expr = 0, t)[1]));
hmax_expr: radcan(logcontract(subst(t=tstar_expr, xt_expr)));
/* ejemplo numérico: m=2 kg, k=0.5, g=9.8, v0=15 m/s */
vals: [m=2, k=0.5, g=9.8, vi=15];
vt(t) := ''(subst(vals, vt_expr));
xt(t) := ''(subst(vals, xt_expr));
tstar: find_root(vt(t), t, 0, 20);
tsuelo: find_root(xt(t), t, tstar, 20); /* t_suelo: numérico, ecuación trascendente */
print("t* = ", tstar, " x_max = ", float(xt(tstar)), " t_suelo = ", tsuelo);
/* gráfica de la trayectoria hasta que toca el suelo */
load(draw);
draw2d(
terminal = png, file_name = "trayectoria",
xlabel = "t (s)", ylabel = "x (m)",
explicit(xt(t), t, 0, tsuelo)
);Curva azul: $x(t)$ desde el lanzamiento hasta que toca el suelo, con escala vertical fija (0–90 m) para poder comparar de un ajuste a otro. El punto verde marca la altura máxima ($t^*=$ - s, $x_{max}=$ - m); el punto rojo marca la llegada al suelo ($t_{suelo}=$ - s, obtenido numéricamente — la ecuación es trascendente). Con $\gamma\to 0$ recuperas la parábola simétrica de la caída libre sin resistencia.
5 Tarea
Hacer los ejercicios 1 al 8 de la sección correspondiente del Simmons.