Cálculo de probabilidades
Técnicas de conteo y el modelo de Laplace
1 Repaso de técnicas de conteo
1.1 Regla del producto
Si un proceso consiste en dos elecciones sucesivas (o en paralelo), y la primera tiene \(m\) opciones y la segunda \(n\) opciones, el número de resultados posibles del proceso combinado es \(m\times n\).
Se lanza un dado y una moneda. El espacio muestral tiene
\[|\Omega| = 6\times 2 = 12\]
resultados: \((1,c),(1,s),(2,c),(2,s),\ldots,(6,c),(6,s)\).
1.2 Permutaciones
Si necesitamos ordenar \(r\) objetos elegidos de un conjunto de \(n\) elementos, para la primera posición hay \(n\) opciones, para la segunda \(n-1\), …, para la \(r\)-ésima quedan \(n-(r-1)\). En total:
\[n(n-1)\cdots(n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!}\]
(Note que \(n!\) es el caso particular \(r=n\).)
Tengo 3 ganchos y 5 pantalones, y quiero colgar 3 de los 5 pantalones (uno por gancho). Para el primer gancho hay 5 opciones, para el segundo 4, para el tercero 3:
\[5\times4\times3 = \frac{5!}{2!} = 60 \text{ formas distintas}\]
Si en cambio tuviera 5 pantalones para 5 ganchos, serían \(5!=120\) formas.
1.3 Combinaciones
Si el orden no importa, cada subconjunto de tamaño \(r\) fue contado \(r!\) veces en el conteo anterior (una vez por cada reordenación posible de sus elementos).
Con \(n=4\) elementos \(\{a,b,c,d\}\) y \(r=3\): las tuplas ordenadas \((a,b,c)\), \((a,c,b)\), \((b,a,c)\), \((b,c,a)\), \((c,a,b)\), \((c,b,a)\) son todas distintas como tuplas, pero corresponden al mismo subconjunto \(\{a,b,c\}\). Son \(3!=6\) tuplas por cada subconjunto.
Como cada subconjunto se contó \(r!\) veces, dividimos:
\[\binom{n}{r} = \frac{1}{r!}\cdot\frac{n!}{(n-r)!} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}\]
Verifique con el ejemplo anterior (\(n=4\), \(r=3\)) que \(\binom{4}{3}=4\), listando explícitamente los 4 subconjuntos.
1.4 Coeficientes multinomiales
Supongamos que tenemos \(n\) objetos y \(m\) categorías (etiquetas, colores), y queremos partirlos ordenadamente en subgrupos de tamaños \(k_1,k_2,\ldots,k_m\) con \(k_1+\cdots+k_m=n\). Elegimos el primer grupo (\(\binom{n}{k_1}\) formas), luego el segundo de lo que queda (\(\binom{n-k_1}{k_2}\) formas), y así sucesivamente. El producto telescopa:
\[ \binom{n}{k_1}\binom{n-k_1}{k_2}\cdots\binom{n-k_1-\cdots-k_{m-1}}{k_m} = \frac{n!}{k_1!\,k_2!\,\cdots\,k_m!} =: \binom{n}{k_1,k_2,\ldots,k_m} \]
Note que si \(m=2\), \(\binom{n}{k_1,k_2}=\binom{n}{k_1,n-k_1}=\binom{n}{k_1}\): el binomial es el caso particular de dos categorías.
Una urna tiene 4 bolas rojas, 3 azules y 2 verdes (9 en total). Al sacarlas todas y ponerlas en fila, el número de arreglos distintos es
\[\binom{9}{4,3,2} = \frac{9!}{4!\,3!\,2!} = 1.260\]
De la misma urna, se sacan 5 bolas (sin reemplazo) y queremos que sean 2 rojas, 2 azules y 1 verde, sin importar el orden de extracción. Aquí no es un multinomial (no se reparten todas las bolas): es un producto de combinaciones, eligiendo independientemente dentro de cada color:
\[\binom{4}{2}\binom{3}{2}\binom{2}{1} = 6\cdot3\cdot2 = 36\]
El coeficiente multinomial reparte todos los \(n\) objetos entre las categorías (es un arreglo completo). El producto de binomiales cuenta selecciones parciales de cada categoría, cuando no se usan todos los objetos disponibles.
2 Ejemplo — placas de carros en Colombia
Las placas de los vehículos particulares en Colombia tienen el formato ABC 123: tres letras seguidas de tres números. Usamos el alfabeto de 26 letras (sin contar la Ñ). Suponga que las placas se generan de forma aleatoria y uniforme sobre todas las combinaciones posibles.
\[|\Omega| = 26^3 \times 10^3 = 17.576.000\]
La probabilidad de que salga una placa particular, como LIT 100, es
\[P(\{\text{LIT 100}\}) = \frac{1}{26^3\cdot 10^3} = \frac{1}{17.576.000} \approx 5{,}6896\times10^{-8}\]
Ahora queremos la probabilidad de que la placa tenga la forma XXX YYY (las tres letras iguales entre sí, y los tres números iguales entre sí).
Para las letras: la primera posición tiene 26 opciones, pero la segunda y la tercera ya no tienen ninguna opción libre (deben repetir la primera). Lo mismo para los números, con 10 opciones en la primera posición. Por la regla del producto:
\[\#\{\text{casos favorables}\} = 26\times 10 = 260\]
\[P(A) = \frac{26\times10}{26^3\times10^3} = \frac{260}{17.576.000} = \frac{1}{67.600} \approx 1{,}479\times10^{-5}\]
¿Cuántas placas hay con exactamente dos letras iguales (y la tercera distinta)? ¿Y con exactamente dos números iguales? Use esto para encontrar la probabilidad de que una placa tenga alguna repetición, ya sea en las letras o en los números.
3 Una medida de probabilidad construida como mezcla
Sea \((P_n)_{n\in\mathbb N}\) una sucesión de medidas de probabilidad sobre un espacio medible \((\Omega,\mathfrak F)\), y sea \((a_n)_{n\in\mathbb N}\) una sucesión de reales no negativos con \(\sum_n a_n = 1\). Entonces
\[P:\mathfrak F\to\mathbb R, \qquad P(A) = \sum_n a_n\, P_n(A)\]
es una medida de probabilidad sobre \((\Omega,\mathfrak F)\).
Demostración. La no negatividad de \(P\) y \(P(\Omega)=\sum_n a_n P_n(\Omega) = \sum_n a_n \cdot 1 = 1\) son inmediatas. Para la σ-aditividad, sea \((A_k)_k\) una familia disyunta dos a dos de elementos de \(\mathfrak F\). Entonces
\[ P\Big(\bigcup_k A_k\Big) = \sum_n a_n\, P_n\Big(\bigcup_k A_k\Big) = \sum_n a_n \sum_k P_n(A_k) = \sum_n\sum_k a_n P_n(A_k) \]
Como los términos son no negativos, la serie doble converge absolutamente y podemos intercambiar el orden de las sumas:
\[ = \sum_k\sum_n a_n P_n(A_k) = \sum_k P(A_k) \qquad\blacksquare \]
¿En qué paso de la demostración se usó específicamente que \((A_k)_k\) es disyunta? ¿Qué falla si los \(A_k\) se traslapan?
Encuentre un contraejemplo. (Piense en qué pasa si \(A=B\).)
4 Ejercicio — partición de un grupo en subgrupos iguales
Un grupo de 40 estudiantes tiene 20 hombres y 20 mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que, al dividirlo en dos partes iguales (de 20 cada una), queden con la misma cantidad de hombres que de mujeres en cada parte?
Ayuda: \(\binom{40}{20}\) mide cuántos grupos posibles de 20 personas se pueden armar; \(\binom{20}{10}\) mide, de los 20 hombres, cuántos subgrupos de 10 hombres hay; análogamente para las mujeres.
5 Ejemplo — el chance: directo y combinado
Recuerde que el chance consiste en acertar las últimas \(k\) cifras del número ganador de una lotería o sorteo autorizado. Para \(k=3\) cifras, el sorteo saca una de \(10^3=1.000\) secuencias posibles, todas igualmente probables.
Ganar el directo requiere acertar el orden exacto:
\[P(\text{directo}) = \frac{1}{10^3} = 0{,}001\]
Ganar el combinado requiere que las cifras salgan en cualquier orden. El número de secuencias favorables depende de cuántas de las tres cifras elegidas se repiten:
| Cifras elegidas | Permutaciones distintas | Probabilidad |
|---|---|---|
| Las tres distintas (ej. \(abc\)) | \(3!=6\) | \(6/1.000=0{,}006\) |
| Dos iguales (ej. \(aab\)) | \(3!/2!=3\) | \(3/1.000=0{,}003\) |
| Las tres iguales (ej. \(aaa\)) | \(3!/3!=1\) | \(1/1.000=0{,}001\) |
El operador paga un valor fijo por el combinado, sin importar si las cifras elegidas se repiten o no. Como la probabilidad real de ganar sí cambia según el patrón de repetición, elegir cifras con repeticiones es una decisión estrictamente peor (misma paga, menor probabilidad) que elegir tres cifras distintas.
¿En qué casos la modalidad pata (2 cifras) es mutuamente excluyente con la uña (1 cifra)? ¿Y cuándo, en cambio, una está contenida en la otra?
¿Qué es mejor: apostar solo al directo, solo al combinado, o a los dos simultáneamente (con el mismo número, dividiendo el presupuesto entre ambas modalidades)?
6 Ejercicio — comparando probabilidades raras
Estudie el esquema actual de sorteo del Baloto (números elegidos, tamaño del espacio muestral) y calcule la probabilidad de ganar el premio mayor con un solo tiquete. Compare esa probabilidad con la de que un jugador reciba las 13 cartas de un mismo palo (por ejemplo, todas las picas) al repartir una baraja de 52 cartas entre 4 jugadores. ¿Cuál es más improbable, y por qué factor?
Haga los ejercicios 1.1–1.26 (Blanco Castañeda, Probabilidad).