σ-álgebra generada, distribución y función de distribución
Sea \((\Omega,\mathfrak F, P)\) un espacio de probabilidad. Una variable aleatoria real es una función
\[X:(\Omega,\mathfrak F)\to(\mathbb R,\mathfrak B(\mathbb R))\]
que es \(\mathfrak F/\mathfrak B(\mathbb R)\)-medible, es decir, \(X^{-1}(B)\in\mathfrak F\) para todo \(B\in\mathfrak B(\mathbb R)\), donde \(\mathfrak B(\mathbb R)\) es la σ-álgebra de Borel (la generada por los abiertos de \(\mathbb R\)).
\(\mathfrak B(\mathbb R)\) está generada por la familia \(\{(-\infty,a] : a\in\mathbb R\}\). Como la imagen inversa se comporta bien con complementos y uniones,
\[X^{-1}(A^c) = \big(X^{-1}(A)\big)^c \qquad X^{-1}\Big(\bigcup_n A_n\Big) = \bigcup_n X^{-1}(A_n)\]
basta verificar \(X^{-1}((-\infty,a])\in\mathfrak F\) para todo \(a\in\mathbb R\): todos los demás borelianos (intervalos abiertos, semiabiertos, uniones numerables de estos) se obtienen de los \((-\infty,a]\) por complementos e intersecciones/uniones numerables. Por ejemplo:
\[(a,b) = \Big(\bigcup_{n} (-\infty, b-\tfrac1n]\Big) \cap (-\infty,a]^c\]
Esto simplifica muchísimo la verificación de que una función dada es una variable aleatoria: no hay que revisar todo \(\mathfrak B(\mathbb R)\), solo la familia generadora.
Aprenda de memoria las definiciones de función medible, variable aleatoria, σ-álgebra generada por una función y función de distribución. Sepa negarlas, ejemplificarlas y ejemplificar la negación.
Sea \(\Omega=\{1,2,3,4\}\). Determinar la menor σ-álgebra sobre \(\Omega\) con respecto a la cual \(X(\omega):=\omega+1\) es una variable aleatoria real.
En otras palabras, queremos \(\sigma(X)\), la σ-álgebra generada sobre \(\Omega\) por \(X:\Omega\to(\mathbb R,\mathfrak B(\mathbb R))\). Por la observación anterior, basta con enviar hacia atrás los conjuntos \((-\infty,a]\), \(a\in\mathbb R\):
\[X^{-1}\big((-\infty,a]\big) = \{\omega\in\Omega : \omega+1\le a\} = \{\omega\in\Omega : \omega\le a-1\}\]
Como \(\Omega=\{1,2,3,4\}\), basta distinguir en qué intervalo cae \(a-1\):
| Rango de \(a\) | \(\{\omega\le a-1\}\) | Preimagen |
|---|---|---|
| \(a<2\) | ningún \(\omega\in\Omega\) | \(\varnothing\) |
| \(2\le a<3\) | \(\omega=1\) | \(\{1\}\) |
| \(3\le a<4\) | \(\omega\in\{1,2\}\) | \(\{1,2\}\) |
| \(4\le a<5\) | \(\omega\in\{1,2,3\}\) | \(\{1,2,3\}\) |
| \(a\ge5\) | \(\omega\in\{1,2,3,4\}\) | \(\Omega\) |
Así que la familia generadora directa es \(\mathcal F_0=\{\varnothing,\{1\},\{1,2\},\{1,2,3\},\Omega\}\). Ahora cerramos bajo las operaciones de σ-álgebra:
Complementos: \(\{1\}^c=\{2,3,4\}\), \(\{1,2\}^c=\{3,4\}\), \(\{1,2,3\}^c=\{4\}\).
Uniones (para aislar los singletons restantes): \[\{1\}\cup\{3,4\}=\{1,3,4\} \quad\Rightarrow\quad \{1,3,4\}^c=\{2\}\] \[\{1,2\}\cup\{4\}=\{1,2,4\} \quad\Rightarrow\quad \{1,2,4\}^c=\{3\}\]
Ya tenemos los cuatro singletons \(\{1\},\{2\},\{3\},\{4\}\) dentro de la σ-álgebra. Como toda σ-álgebra es cerrada bajo uniones (finitas, en este caso, porque \(\Omega\) es finito), cualquier subconjunto de \(\Omega\) se escribe como unión de singletons. Por lo tanto
\[\sigma(X) = \mathcal P(\Omega)\]
el conjunto de partes completo — y esto pasa sin importar qué medida de probabilidad \(P\) se defina sobre \(\Omega\); es una propiedad puramente de \(X\) y de \(\Omega\).
Estudie del libro la demostración del siguiente teorema
Sea \(X\) una variable aleatoria real definida sobre \((\Omega,\mathfrak F,P)\). La función \(P_X\) definida sobre \(\mathfrak B(\mathbb R)\) por
\[P_X(B) := P\big(X^{-1}(B)\big) = P(X\in B), \qquad B\in\mathfrak B(\mathbb R)\]
es una medida de probabilidad sobre \((\mathbb R,\mathfrak B(\mathbb R))\), llamada distribución (o ley) de \(X\).
Este teorema es lo que permite olvidarse de \(\Omega\): una vez que conocemos \(P_X\), toda pregunta probabilística sobre \(X\) (¿\(P(X\in B)\)?) se responde dentro de \((\mathbb R,\mathfrak B(\mathbb R))\), sin necesidad de volver al espacio muestral original. Es la razón por la que, en la práctica, casi nunca se especifica \(\Omega\) explícitamente al trabajar con variables aleatorias.
Sea \(\Omega=\{a,b,c,d,e,f\}\) un espacio Laplaciano (cada resultado con probabilidad \(1/6\)) y \(X\) la variable aleatoria dada por la tabla de valores \(X(a),\ldots,X(f)\) del enunciado (Blanco Castañeda, ejercicio 2.4).
La tabla de valores \(X(\omega)\) no se pudo recuperar de forma confiable ni del escaneo del libro ni de las notas manuscritas — en ambos casos la extracción de texto rompe la tabla. En vez de inventar los valores, queda pendiente completarla aquí con la tabla real del libro antes de publicar esta sección.
Con la tabla completa, se pide calcular:
En un espacio Laplaciano, \(P_X(\{x_0\}) = P(X^{-1}(\{x_0\}))\) se calcula contando cuántos \(\omega\in\Omega\) satisfacen \(X(\omega)=x_0\), y dividiendo por \(|\Omega|=6\). Para un evento como \(\{|X-1|\le 1{,}5\}\), primero se reescribe como \(\{-0{,}5\le X\le 2{,}5\}\), se identifica \(X^{-1}([-0{,}5,\,2{,}5])\subset\Omega\), y se cuenta.
Sea \(X\) una variable aleatoria real definida sobre \((\Omega,\mathfrak F,P)\) y \(F_X(x):=P(X\le x)\) su función de distribución. Entonces:
Demostración de la continuidad a derecha. \(F_X\) es continua a derecha en \(a\) si para toda sucesión \((a_n)_n\) que decrece a \(a\), \(F_X(a_n)\to F_X(a)\).
Sea \((a_n)_n\) decreciente con \(a_n\downarrow a\). Definamos \(A_n:=(-\infty,a_n]\). Como \((a_n)_n\) es decreciente, \((A_n)_n\) es una sucesión decreciente de conjuntos: \(A_{n+1}\subset A_n\). Afirmamos que (verifique)
\[\bigcap_n A_n = (-\infty,a]\]
Con esto,
\[ \lim_n F_X(a_n) = \lim_n P(X\le a_n) = \lim_n P(X\in A_n) = P\Big(X^{-1}\Big(\bigcap_n A_n\Big)\Big) = P(X\le a) = F_X(a) \]
donde la penúltima igualdad usa la continuidad de \(P\) respecto a sucesiones decrecientes de conjuntos (vista en la sección de introducción). \(\blacksquare\)
Demuestre las otras tres propiedades del teorema (monotonía, límite en \(+\infty\) y límite en \(-\infty\)), usando el mismo tipo de argumento: escriba el evento límite como \(\bigcup_n\) o \(\bigcap_n\) de eventos \(\{X\le x_n\}\) y use la continuidad de \(P\).
Sean \(X\) una variable aleatoria real, \(F_X\) su función de distribución y \(a,b\in\mathbb R\) con \(a<b\). Entonces:
Demuestre todos los puntos de este corolario.
Se lanza una moneda corriente cuatro veces consecutivas. Sea \(X\) el número de caras obtenidas. Hallar y graficar la función de distribución de \(Y:=X-2\).
\(X\) toma valores en \(\{0,1,2,3,4\}.\) Entonces
\[P(X=k) = \binom{4}{k}\Big(\frac12\Big)^4 = \frac{\binom4k}{16}, \qquad k=0,1,2,3,4\]
es decir \(P(X=0)=P(X=4)=\tfrac1{16}\), \(P(X=1)=P(X=3)=\tfrac4{16}\), \(P(X=2)=\tfrac6{16}\).
Como \(Y=X-2\), \(Y\) toma valores en \(\{-2,-1,0,1,2\}\) con las mismas probabilidades (solo se recorre el índice). Sumando acumulativamente:
\[ F_Y(y) = \begin{cases} 0 & y<-2 \\ 1/16 & -2\le y<-1 \\ 5/16 & -1\le y<0 \\ 11/16 & 0\le y<1 \\ 15/16 & 1\le y<2 \\ 1 & y\ge2 \end{cases} \]
y_vals <- c(-2, -1, 0, 1, 2)
p <- c(1, 4, 6, 4, 1) / 16
Fy <- stepfun(y_vals, c(0, cumsum(p)))
plot(Fy, xlim = c(-3, 3), ylim = c(0, 1),
xlab = "y", ylab = expression(F[Y](y)),
main = "", do.points = TRUE, pch = 19, col = "steelblue",
verticals = TRUE)
abline(h = c(0, 1), lty = 3, col = "gray60")
La parte 6 del corolario (\(P(X=a)=F_X(a)-F_X(a^-)\)) aplicada a \(F_Y\) recupera exactamente los saltos de la gráfica. Por ejemplo, en \(y=-1\) (que corresponde a \(X=1\)):
\[P(Y=-1) = F_Y(-1)-F_Y(-1^-) = \frac{5}{16}-\frac1{16} = \frac{4}{16} = \frac14\]
y en \(y=1\) (que corresponde a \(X=3\)):
\[P(Y=1) = F_Y(1)-F_Y(1^-) = \frac{15}{16}-\frac{11}{16} = \frac{4}{16} = \frac14\]
Los dos saltos son idénticos: \(P(X=1)=P(X=3)=1/4\), reflejando la simetría de la binomial \((4,1/2)\) alrededor de \(k=2\).
¿Por qué la función de distribución de \(Y\) tiene la misma forma (los mismos saltos) que la de \(X\), solo desplazada 2 unidades hacia la izquierda? Enuncie y demuestre, en general, la relación entre \(F_X\) y \(F_{X+c}\) para una constante \(c\in\mathbb R\).
Haga los ejercicios 2.1 al 2.8 de la sección 2.5 (Blanco, Probabilidad).