Axiomas, función de distribución, probabilidad de Laplace, teorema de Bayes y distribuciones discretas notables
Este primer parcial individual repasa lo construido en el curso hasta las distribuciones discretas notables: los axiomas de probabilidad y la función de distribución, el conteo detrás del modelo de Laplace, la actualización de creencias con el teorema de Bayes, y el puente exacto entre la Poisson y la binomial.
1. Como \(A\subseteq B\), \(B=A\cup(B\setminus A)\) es una unión disyunta, así que por aditividad finita \(P(B)=P(A)+P(B\setminus A)\). Por el axioma de no negatividad, \(P(B\setminus A)\ge0\), de donde \(P(B)\ge P(A)\).
2. Para dos conjuntos cualesquiera \(D,E\in\mathfrak F\), la fórmula de inclusión-exclusión da \(P(D\cup E)=P(D)+P(E)-P(D\cap E)\le P(D)+P(E)\), pues \(P(D\cap E)\ge0\). Aplicando esto dos veces:
\[P(A\cup B\cup C) = P\big((A\cup B)\cup C\big) \le P(A\cup B)+P(C) \le \big[P(A)+P(B)\big]+P(C) = P(A)+P(B)+P(C). \qquad\blacksquare\]
Sea \(X\) una variable aleatoria discreta con función de masa dada por la tabla:
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(2\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(0{,}1\) | \(0{,}3\) | \(0{,}4\) | \(0{,}2\) |
1. \(0{,}1+0{,}3+0{,}4+0{,}2=1\) y los cuatro valores son no negativos: es una función de masa válida.
2. \[ F_X(x) = \begin{cases} 0 & x<-1 \\ 0{,}1 & -1\le x<0 \\ 0{,}4 & 0\le x<2 \\ 0{,}8 & 2\le x<5 \\ 1 & x\ge5 \end{cases} \]
x_vals <- c(-1, 0, 2, 5)
p <- c(0.1, 0.3, 0.4, 0.2)
Fx <- stepfun(x_vals, c(0, cumsum(p)))
plot(Fx, xlim = c(-3, 7), ylim = c(0, 1),
xlab = "x", ylab = expression(F[X](x)),
main = "", do.points = TRUE, pch = 19, col = "steelblue",
verticals = TRUE)
abline(h = c(0, 1), lty = 3, col = "gray60")
3. \(P(-1<X\le5) = F_X(5)-F_X(-1) = 1-0{,}1 = 0{,}9\).
\(P(X\ge2) = 1-F_X(2^-) = 1-0{,}4 = 0{,}6\), donde \(F_X(2^-)\) es el valor de \(F_X\) justo antes del salto en \(2\).
De un grupo de 12 personas (7 mujeres, 5 hombres) se elige, al azar y sin reemplazo, un comité de 5.
1. \[P(X=3) = \frac{\binom73\binom52}{\binom{12}5} = \frac{35\times10}{792} = \frac{175}{396}\approx0{,}4419\]
2. \[P(X=k) = \frac{\binom7k\binom5{5-k}}{\binom{12}5}, \qquad k=0,1,\ldots,5\]
\(X\) tiene distribución hipergeométrica de parámetros \(n=5\), \(R=7\), \(N=12\).
3. Con reemplazo, cada extracción es independiente con probabilidad de éxito constante \(p=7/12\), así que \(X\sim B(5,7/12)\):
\[P(X=3) = \binom53\Big(\frac7{12}\Big)^3\Big(\frac5{12}\Big)^2 = \frac{42875}{124416}\approx0{,}3446\]
No coincide con el punto 1 (\(0{,}4419\)): sin reemplazo, cada mujer que sale reduce la proporción de mujeres restantes, lo que concentra la distribución más cerca de su media (la hipergeométrica tiene menor varianza que la binomial con el mismo \(n,p\)); con reemplazo esa corrección no existe.
4. \[P(X\ge3) = \frac{175}{396}+\frac{175}{792}+\frac{7}{264} = \frac{350+175+21}{792} = \frac{546}{792} = \frac{91}{132}\approx0{,}6894\]
Una prueba casera de embarazo tiene sensibilidad 98% y especificidad 95%. El 30% de quienes se la hacen está efectivamente embarazada.
1. \[P(\text{positivo}) = P(\text{pos}\mid\text{emb})P(\text{emb})+P(\text{pos}\mid\text{no emb})P(\text{no emb}) = 0{,}98(0{,}3)+0{,}05(0{,}7) = 0{,}294+0{,}035 = 0{,}329\]
2. \[P(\text{embarazada}\mid\text{positivo}) = \frac{0{,}294}{0{,}329} = \frac{42}{47}\approx0{,}8936\]
3. Cada mujer no embarazada tiene \(P(\text{falso positivo})=1-0{,}95=0{,}05\), independientes entre ellas:
\[P(\text{al menos uno en 5}) = 1-(0{,}95)^5 = 1-0{,}7738 \approx 0{,}2262\]
1.
2. Aquí \(\lambda=np=1000(0{,}002)=2\).
Aproximación Poisson: \[P(X\le3)\approx e^{-2}\Big(1+2+2+\frac43\Big) \approx 0{,}8571\]
Valor exacto (binomial): \[P(X\le3) = \sum_{k=0}^3\binom{1000}{k}(0{,}002)^k(0{,}998)^{1000-k} \approx 0{,}8573\]
La diferencia es de apenas \(0{,}0002\): la aproximación es excelente, como se espera con \(n\) grande y \(p\) pequeño con \(np\) moderado.