Parcial 1
Una ecuación homogénea, una ecuación con factor integrante, y el péndulo más allá de la aproximación lineal
Este parcial individual repasa tres técnicas vistas en el primer corte del curso: ecuaciones homogéneas, factor integrante, y la reducción de orden, esta última aplicada de nuevo al péndulo simple pero yendo más allá de la aproximación de ángulo pequeño.
1 Ecuación homogénea
Considere la ecuación
\[2xy\,dx+(y^2-x^2)\,dy=0.\]
- Verifique que la ecuación es homogénea e indique su grado. (2 pts)
- Resuélvala mediante la sustitución \(y=zx\). (7 pts)
- Muestre que la familia de soluciones puede escribirse como \(x^2+y^2=ky\). (4 pts)
- Identifique esta familia geométricamente: ¿qué figura describe, y en qué punto es tangente al eje \(x\)? (2 pts)
Aquí \(M=2xy\) y \(N=y^2-x^2\), ambas homogéneas de grado 2. Con \(y=zx\),
\[z+x\frac{dz}{dx} = \frac{2z}{1-z^2} \;\Longrightarrow\; x\frac{dz}{dx} = \frac{z(1+z^2)}{1-z^2}\]
Separando variables y usando fracciones parciales, \(\dfrac{1-z^2}{z(1+z^2)}=\dfrac1z-\dfrac{2z}{1+z^2}\):
\[\ln|z|-\ln(1+z^2)=\ln|x|+C \;\Longrightarrow\; \frac{z}{1+z^2}=Ax\]
Deshaciendo la sustitución (\(z=y/x\)) y simplificando,
\[\frac{xy}{x^2+y^2}=Ax \;\Longrightarrow\; \frac{y}{x^2+y^2}=A \;\Longrightarrow\; x^2+y^2=ky, \qquad k=\frac1A\]
Completando el cuadrado, \(x^2+\left(y-\dfrac k2\right)^2=\left(\dfrac k2\right)^2\): la familia es de circunferencias centradas en \((0,k/2)\), todas tangentes al eje \(x\) en el origen (el punto más bajo de cada circunferencia).
2 Ecuación con factor integrante
Considere ahora la ecuación
\[(x+2y^3)\,dx+3xy^2\,dy=0.\]
- Verifique que no es exacta. (2 pts)
- Encuentre un factor integrante \(\mu\) que dependa de una sola variable. (6 pts)
- Multiplique por \(\mu\), compruebe que la ecuación resultante es exacta, y resuélvala para obtener la solución implícita \(f(x,y)=C\). (7 pts)
Con \(M=x+2y^3\) y \(N=3xy^2\): \(M_y=6y^2\) y \(N_x=3y^2\), así que \(M_y\neq N_x\) y la ecuación no es exacta. Pero
\[\frac{M_y-N_x}{N}=\frac{6y^2-3y^2}{3xy^2}=\frac1x\]
depende solo de \(x\), así que \(\mu=e^{\int dx/x}=x\). Multiplicando por \(\mu\),
\[(x^2+2xy^3)\,dx+3x^2y^2\,dy=0\]
que ya es exacta, pues \(\partial_y(x^2+2xy^3)=6xy^2=\partial_x(3x^2y^2)\). Integrando \(M\) respecto a \(x\),
\[f=\frac{x^3}3+x^2y^3+g(y), \qquad f_y=3x^2y^2+g'(y)=3x^2y^2 \;\Longrightarrow\; g'(y)=0\]
\[\boxed{x^3+3x^2y^3=C}\]
3 El péndulo más allá de la aproximación lineal
Con \(a\) la longitud del péndulo y \(\alpha\) el ángulo de amplitud desde el que se suelta en reposo, la aproximación de ángulo pequeño \(\sin\theta\approx\theta\) conduce, como vimos en la sección de Reducción de Orden, a la relación
\[p^2=\omega^2(\alpha^2-\theta^2), \qquad p=\theta', \qquad \omega^2=g/a.\]
Repitamos ahora el cálculo usando, en cambio, la aproximación de Taylor de tercer orden \(\sin\theta\approx\theta-\theta^3/6\) en la ecuación de movimiento \(a\theta''=-g\sin\theta\).
- Con la aproximación de arriba, la ecuación se convierte en \(a\theta''=-g(\theta-\theta^3/6)\). Usando \(p=\theta'\) como función de \(\theta\) y la regla de la cadena \(\theta''=p\,dp/d\theta\), reescriba esta ecuación como una ecuación de primer orden en \(p(\theta)\). (5 pts)
- Escriba la ecuación del punto anterior en la forma \(dp/d\theta=f(\theta)p^{-1}\), identificando \(f(\theta)\). Explique por qué es una ecuación de Bernoulli en \(p(\theta)\) con \(n=-1\), y use la sustitución \(u=p^2\) para convertirla en una ecuación directamente integrable en \(u(\theta)\). (5 pts)
- Integre para hallar \(u(\theta)=p^2\), use la condición inicial (\(p=0\) cuando \(\theta=\alpha\)) para hallar la constante, y muestre que el resultado se factoriza como \[p^2=\omega^2(\alpha^2-\theta^2)\left[1-\frac{\alpha^2+\theta^2}{12}\right].\] (5 pts)
- Compare esta expresión con la relación de la aproximación lineal. Para \(\theta,\alpha\) físicamente razonables en un péndulo, ¿el término entre corchetes es mayor o menor que 1? ¿Cómo interpreta esto? (5 pts)
Con \(\theta''=p\,dp/d\theta\),
\[ap\frac{dp}{d\theta}=-g\left(\theta-\frac{\theta^3}6\right) \;\Longrightarrow\; \frac{dp}{d\theta}=\underbrace{\left(-\omega^2\theta+\frac{\omega^2}6\theta^3\right)}_{f(\theta)}p^{-1}\]
Esta es una ecuación de Bernoulli en \(p(\theta)\), \(dp/d\theta+P(\theta)p=Q(\theta)p^n\), con \(P=0\), \(Q=f(\theta)\) y \(n=-1\); la sustitución de Bernoulli es \(u=p^{1-n}=p^2\). Derivando,
\[\frac{du}{d\theta}=2p\frac{dp}{d\theta}=2f(\theta)=-2\omega^2\theta+\frac{\omega^2}3\theta^3\]
que ya es directamente integrable:
\[u=p^2=-\omega^2\theta^2+\frac{\omega^2}{12}\theta^4+C\]
Con \(p=0\) en \(\theta=\alpha\): \(C=\omega^2\alpha^2-\dfrac{\omega^2}{12}\alpha^4\), y como \(\alpha^4-\theta^4=(\alpha^2-\theta^2)(\alpha^2+\theta^2)\),
\[p^2=\omega^2(\alpha^2-\theta^2)-\frac{\omega^2}{12}(\alpha^2-\theta^2)(\alpha^2+\theta^2) = \omega^2(\alpha^2-\theta^2)\left[1-\frac{\alpha^2+\theta^2}{12}\right]\]
Para \(\theta,\alpha\) razonables en un péndulo (digamos, hasta unos \(90°\)), \(\alpha^2+\theta^2\) queda bien por debajo de 12, así que el corchete es positivo y menor que 1. Esto significa que, en cada ángulo, la corrección cúbica predice una velocidad angular menor que la aproximación lineal, así que el péndulo tarda más tiempo en recorrer el mismo ángulo: el período debe ser mayor que \(T_0=2\pi\sqrt{a/g}\). Es exactamente lo que muestra la tabla de \(T_{\text{exacto}}/T_0\) de la sección de Reducción de Orden, donde esa razón crece con la amplitud: esta corrección cúbica explica, de forma analítica y a primer orden, el error circular.