Taller 2
Cuatro caminos hacia una ecuación diferencial, en dos escenarios: persecución naval y electromagnetismo
Este taller recorre dos escenarios distintos, y en cada uno dos orígenes distintos de una EDO. El primero es un problema de persecución naval, planteado y resuelto por primera vez por Pierre Bouguer en 1732: ahí aparecen una ecuación homogénea y una que se reduce de orden. El segundo es un problema de electrostática, con un circuito y un campo entre dos alambres cargados: ahí aparecen una ecuación con factor integrante y una exacta.
1 El cruce del estrecho
Un contrabandista debe cruzar, en su bote, un estrecho de agua para llegar donde lo espera un cómplice, en la orilla opuesta. Una corriente empuja el agua con rapidez constante \(a\) en dirección perpendicular al estrecho. El bote avanza con rapidez constante \(b\) relativa al agua, y su capitán lo dirige en todo instante directamente hacia el punto de encuentro.
Coloquen el punto de encuentro en el origen y el estrecho a lo largo del eje \(x\), de modo que el bote parte del punto \((w,0)\) y la corriente actúa en la dirección negativa de \(y\).
- Deducción. Muestren que las componentes de la velocidad del bote son \[\frac{dx}{dt} = -\frac{bx}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad \frac{dy}{dt} = -\frac{by}{\sqrt{x^2+y^2}} - a\] Divídanlas para obtener \(dy/dx\) y verifiquen que la ecuación resultante es homogénea.
- Resuélvanla con la sustitución \(y=vx\), y muestren que la familia de soluciones puede escribirse como \(y+\sqrt{x^2+y^2}=Ax^{k+1}\), con \(k=a/b\).
- Condición inicial. Usando que el bote parte de \((w,0)\), hallen \(A\) en términos de \(w\) y \(k\), y despejen \(y\) como función explícita de \(x\).
- Interpretación. ¿Para qué valores de \(k=a/b\) llega el bote exactamente al punto de encuentro cuando \(x\to0\)? ¿Qué le ocurre a la trayectoria si la corriente es tan rápida como el bote, o más rápida todavía?
Dividiendo las dos componentes de la velocidad,
\[\frac{dy}{dx} = \frac{a\sqrt{x^2+y^2}+by}{bx}\]
que es homogénea (numerador y denominador son homogéneos de grado 1). Con \(y=vx\) y \(k=a/b\):
\[v+x\frac{dv}{dx}=k\sqrt{1+v^2}+v \;\Longrightarrow\; \frac{dv}{\sqrt{1+v^2}}=k\frac{dx}{x} \;\Longrightarrow\; v+\sqrt{1+v^2}=Ax^k\]
Multiplicando por \(x\): \(y+\sqrt{x^2+y^2}=Ax^{k+1}\). Con \(x=w\), \(y=0\): \(A=w^{-k}\), y despejando \(y\),
\[y(x) = \frac{w}{2}\left[\left(\frac{x}{w}\right)^{k+1}-\left(\frac{x}{w}\right)^{1-k}\right]\]
Cuando \(x\to0^+\): si \(k<1\), \(y\to0\) y el bote llega exactamente al punto de encuentro; si \(k=1\), \(y\to-w/2\), llega a la orilla pero desviado medio ancho del estrecho; si \(k>1\), \(y\to-\infty\), nunca cruza. El umbral está en \(k=a/b=1\): basta con que el bote sea apenas más lento que la corriente para que el cruce fracase.
2 La persecución directa
El cómplice, al ver que ha sido descubierto, decide huir en línea recta a lo largo de la costa (el eje \(y\)) con rapidez constante \(a\). Un guardacostas, que parte del punto \((c,0)\), lo persigue con rapidez constante \(b>a\), apuntando en todo instante directamente hacia la posición actual del fugitivo.
Con el mismo procedimiento de la sección anterior (eliminando el tiempo entre las dos componentes de la velocidad, y derivando una vez más respecto a \(x\)), puede mostrarse que la trayectoria \(y(x)\) del guardacostas satisface
\[x\frac{d^2y}{dx^2} = k\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}, \quad k=\frac{a}{b}\]
con las condiciones iniciales \(x=c\), \(y=0\), \(y'=0\) (el guardacostas arranca apuntando horizontalmente, pues el fugitivo está justo enfrente de él).
- Reducción de orden. Sea \(p=dy/dx\). Reescriban la ecuación como una ecuación de primer orden, separable, en \(p\) y \(x\). Intégrenla y muestren que \(p=\frac12\left[(x/c)^k-(c/x)^k\right]\).
- Intégrenla otra vez, usando \(y(c)=0\), para hallar \(y(x)\) de forma explícita.
- El alcance. Con \(k=1/2\) y \(c=4\) millas náuticas, hallen el valor de \(y\) al que llega la persecución cuando \(x\to0\) (el punto donde el guardacostas alcanza al fugitivo).
- Interpretación. ¿Por qué la condición \(k<1\), es decir \(b>a\), es indispensable para que el guardacostas alcance al fugitivo en algún punto finito?
Con \(p=y'\), \(\dfrac{dp}{\sqrt{1+p^2}}=k\dfrac{dx}{x}\), e integrando,
\[\operatorname{asinh}(p) = k\ln x + C\]
Con \(p=0\) en \(x=c\): \(C=-k\ln c\), así que
\[p = \sinh\big(k\ln(x/c)\big) = \frac12\left[\left(\frac{x}{c}\right)^k-\left(\frac{c}{x}\right)^k\right]\]
Con \(k=1/2\), \(c=4\): \(p(x)=\dfrac{\sqrt x}{4}-\dfrac{1}{\sqrt x}\), e integrando de nuevo con \(y(4)=0\),
\[y(x) = \frac16 x^{3/2} - 2\sqrt x + \frac83\]
Cuando \(x\to0^+\) los dos primeros términos se anulan y \(y\to 8/3\) millas náuticas, el punto donde el guardacostas alcanza al fugitivo (coincide con la fórmula cerrada \(y=\dfrac{ck}{1-k^2}=\dfrac{4\cdot\frac12}{1-\frac14}=\dfrac83\)).
La integral que da \(y(x)\) converge en \(x=0\) solo porque el exponente de \(x^{1-k}\) es positivo, es decir \(k<1\). Si el guardacostas no fuera más rápido que el fugitivo, \(x\) se acercaría a \(0\) pero \(y\) crecería sin límite: la persecución nunca terminaría en un punto finito.
3 El circuito de carga
En un circuito en serie con una resistencia \(R\), un capacitor de capacitancia \(C\) y una fuente de voltaje constante \(E\), la ley de voltajes de Kirchhoff da la ecuación para el voltaje \(v_C(t)\) en el capacitor:
\[RC\,\frac{dv_C}{dt} + v_C = E, \quad v_C(0)=0\]
- Factor integrante. Escriban la ecuación en la forma estándar \((v_C)'+Pv_C=Q\), identifiquen el factor integrante, y resuelvan para mostrar que \(v_C(t)=E\left(1-e^{-t/(RC)}\right)\).
- Los números. Con \(R=4.7\) kΩ, \(C=220\) µF y \(E=9\) V, escriban la expresión explícita de \(v_C(t)\) en voltios, con \(t\) en segundos.
- Interpretación. ¿Cuánto tiempo tarda el capacitor en alcanzar el 80% del voltaje de la fuente?
En forma estándar, \(v_C'+\dfrac{1}{RC}v_C=\dfrac{E}{RC}\), con factor integrante \(\mu=e^{t/(RC)}\):
\[\frac{d}{dt}\left[v_C e^{t/(RC)}\right] = \frac{E}{RC}e^{t/(RC)} \;\Longrightarrow\; v_C(t) = E\left(1-e^{-t/(RC)}\right)\]
Con \(R=4700\ \Omega\), \(C=220\times10^{-6}\) F: \(RC=1.034\) s, así que \(v_C(t)=9\left(1-e^{-t/1.034}\right)\) V.
Para el 80%: \(0.8(9)=9\left(1-e^{-t/1.034}\right) \Rightarrow e^{-t/1.034}=0.2 \Rightarrow t=1.034\ln5 \approx \textbf{1.66 s}\).
4 Líneas de campo
Dos alambres delgados, perpendiculares al plano \(xy\) y cargados con densidades lineales de carga opuestas, \(+\lambda\) y \(-\lambda\), están separados una distancia \(2a\). El potencial eléctrico en un punto del plano es \(V=2k\lambda[\ln r_2-\ln r_1]\), con \(r_1,r_2\) las distancias a cada alambre y \(k=1/(4\pi\varepsilon_0)\approx8.99\times10^9\) N·m²/C².
Coloquen los alambres en \((a,0)\) y \((-a,0)\) y trabajen con las coordenadas adimensionales \(\xi=X/a\), \(\eta=Y/a\), de modo que \(V=2k\lambda\cdot\varphi(\xi,\eta)\), con
\[\varphi(\xi,\eta) = \frac12\ln\left[(\xi+1)^2+\eta^2\right] - \frac12\ln\left[(\xi-1)^2+\eta^2\right]\]
Las curvas \(\varphi=\text{const}\) son las líneas equipotenciales; las líneas de campo eléctrico son, en cada punto, perpendiculares a ellas.
- Planteo. Las líneas de campo satisfacen \(Md\xi+Nd\eta=0\), con \(M=\partial\varphi/\partial\eta\) y \(N=-\partial\varphi/\partial\xi\). Calculen \(M\) y \(N\) explícitamente, y verifiquen que la ecuación es exacta.
- Resuélvanla, integrando \(M\) respecto a \(\xi\) y ajustando con \(N\), para mostrar que las líneas de campo satisfacen \(\arctan\left(\frac{\xi+1}{\eta}\right)-\arctan\left(\frac{\xi-1}{\eta}\right)=\text{const}\).
- Interpretación geométrica. Usando la identidad de la tangente de una diferencia, muestren que esta condición equivale a que \((\xi,\eta)\) esté sobre una circunferencia que pasa por los dos alambres.
- Los números. Con \(\lambda=5\) nC/m y \(a=1\) cm, hallen el potencial \(V\) en el punto \(X=0.5\) cm, \(Y=0.5\) cm.
\[M=\varphi_\eta=\frac{-4\xi\eta}{D}, \qquad N=-\varphi_\xi=\frac{2\xi^2-2\eta^2-2}{D}, \qquad D=\left[(\xi+1)^2+\eta^2\right]\left[(\xi-1)^2+\eta^2\right]\]
\(M_\eta=N_\xi\) se cumple porque \(\varphi\) es armónica (\(\varphi_{\xi\xi}+\varphi_{\eta\eta}=0\)) fuera de los alambres, que es justamente la condición que hace de \(\varphi\) un potencial electrostático válido. Integrando \(M\) respecto a \(\xi\) y ajustando con \(N\) (el término que falta resulta ser cero),
\[\psi(\xi,\eta) = \arctan\left(\frac{\xi+1}{\eta}\right) - \arctan\left(\frac{\xi-1}{\eta}\right) = \text{const}\]
Con la identidad \(\tan(A-B)=\dfrac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}\),
\[\tan(\text{const}) = \frac{2\eta}{\xi^2+\eta^2-1}\]
y llamando \(D_0=\cot(\text{const})\),
\[\xi^2+\eta^2-2D_0\eta-1=0 \;\Longrightarrow\; \xi^2+(\eta-D_0)^2=1+D_0^2\]
circunferencias centradas en el eje \(\eta\) que, en \((\xi,\eta)=(\pm1,0)\), dan \(1+0-0-1=0\): pasan exactamente por los dos alambres, como debe ser, pues son las fuentes y sumideros del campo.
Con \(\lambda=5\times10^{-9}\) C/m, \(a=1\) cm: \(2k\lambda\approx89.9\) V. En \(\xi=\eta=0.5\),
\[\varphi(0.5,0.5) = \frac12\ln(2.5)-\frac12\ln(0.5) = \frac12\ln5 \approx 0.805\]
\[V \approx 89.9\times0.805 \approx \textbf{72.3 V}\]