¿Puedes oír la forma de un tambor?
La ecuación de Bessel y los modos normales de una membrana circular
En la ecuación de Airy desarrollábamos la solución alrededor de un punto donde la ecuación no era singular. Aquí aparece una ecuación con una singularidad, la ecuación de Bessel, y el método para tratarla es el de Frobenius. El problema físico que la produce es el de un tambor: una membrana circular que vibra.
1 La ecuación de onda en una membrana
Ya vimos una motivación de dónde sale la ecuación de onda. En más dimensiones, para una membrana, la ecuación se transforma en
\[u_{tt}=c^2\,\Delta u,\qquad \Delta u=u_{xx}+u_{yy},\]
donde \(\Delta\) se llama el laplaciano. Vamos a suponer que \(c=1\) y que el tambor es una membrana circular de radio \(1\) sujeta en el borde:
\[u(x,y,t)=0\qquad\text{si}\qquad x^2+y^2=1.\]
Esto no le quita generalidad. Con \(r=a\rho\) y \(t=(a/c)\,\tau\) el problema de radio \(a\) y velocidad \(c\) se convierte exactamente en este, y al final basta devolver el cambio: las frecuencias físicas son \(\omega=c\,j/a\), donde \(j\) son los números que van a aparecer abajo.
2 Coordenadas polares
Lo primero que vamos a hacer es usar coordenadas polares. Es un buen ejercicio de derivación parcial. Con \(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\),
\[r=\sqrt{x^2+y^2},\quad \theta=\arctan\frac yx\ \Longrightarrow\ \frac{\partial r}{\partial x}=\frac xr=\cos\theta,\qquad \frac{\partial\theta}{\partial x}=\frac{-y}{x^2+y^2}=-\frac{\sin\theta}{r}.\]
Por la regla de la cadena,
\[u_x=u_r\,\frac{\partial r}{\partial x}+u_\theta\,\frac{\partial\theta}{\partial x}=u_r\cos\theta-u_\theta\,\frac{\sin\theta}{r}.\]
Para la segunda derivada,
\[u_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(u_r\cos\theta\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(u_\theta\,\frac{\sin\theta}{r}\Bigr),\]
y cada sumando se deriva de nuevo con la regla de la cadena:
\[\begin{aligned}\frac{\partial}{\partial x}\bigl(u_r\cos\theta\bigr)&=\frac{\partial}{\partial r}\bigl(u_r\cos\theta\bigr)\cos\theta+\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(u_r\cos\theta\bigr)\Bigl(-\frac{\sin\theta}{r}\Bigr)\\&=u_{rr}\cos^2\theta-u_{r\theta}\,\frac{\sin\theta\cos\theta}{r}+u_r\,\frac{\sin^2\theta}{r},\end{aligned}\]
\[\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(u_\theta\,\frac{\sin\theta}{r}\Bigr)=u_{r\theta}\,\frac{\sin\theta\cos\theta}{r}-2u_\theta\,\frac{\sin\theta\cos\theta}{r^2}-u_{\theta\theta}\,\frac{\sin^2\theta}{r^2}.\]
Entonces
\[\begin{aligned}u_{xx}&=u_{rr}\cos^2\theta-2u_{r\theta}\,\frac{\sin\theta\cos\theta}{r}+u_r\,\frac{\sin^2\theta}{r}\\&\quad+2u_\theta\,\frac{\sin\theta\cos\theta}{r^2}+u_{\theta\theta}\,\frac{\sin^2\theta}{r^2},\end{aligned}\]
y, de la misma manera, con \(\partial r/\partial y=\sin\theta\) y \(\partial\theta/\partial y=\cos\theta/r\),
\[\begin{aligned}u_{yy}&=u_{rr}\sin^2\theta+2u_{r\theta}\,\frac{\sin\theta\cos\theta}{r}+u_r\,\frac{\cos^2\theta}{r}\\&\quad-2u_\theta\,\frac{\sin\theta\cos\theta}{r^2}+u_{\theta\theta}\,\frac{\cos^2\theta}{r^2}.\end{aligned}\]
Al sumar, los términos cruzados se cancelan y \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\), de modo que el laplaciano en coordenadas polares es
\[\Delta u=u_{rr}+\frac1r\,u_r+\frac1{r^2}\,u_{\theta\theta}. \tag{1}\]
3 Separación de variables
Buscamos soluciones de la forma \(u(r,\theta,t)=\Theta(\theta)R(r)T(t)\). Al reemplazar en \(u_{tt}=\Delta u\) queda
\[\Theta R\,T''=\Theta R''\,T+\frac1r\,\Theta R'\,T+\frac1{r^2}\,\Theta''RT.\]
Dividimos por \(\Theta RT\) y obtenemos
\[\frac{T''}{T}=\frac{R''}{R}+\frac{R'}{rR}+\frac{\Theta''}{r^2\Theta}=-\lambda^2.\]
Como el lado izquierdo solo depende de \(t\) y el derecho solo de \(r\) y \(\theta\), ambos son constantes. La llamamos \(-\lambda^2\) porque si \(T''/T>0\) no habría oscilación temporal, solo crecimiento o decaimiento. De ahí que la parte temporal sea
\[T''+\lambda^2T=0\ \Longrightarrow\ T(t)=A\cos\lambda t+B\sin\lambda t=C\cos(\lambda t+\varphi).\]
Ahora separamos \(r\) de \(\theta\). Multiplicando por \(r^2\),
\[\frac{r^2R''}{R}+\frac{rR'}{R}+\lambda^2r^2=-\frac{\Theta''}{\Theta}=n^2.\]
Si resolvemos el problema angular, \(\Theta''+n^2\Theta=0\), queda \(\Theta(\theta)=c_0\cos n\theta+c_1\sin n\theta\). Pero como \(\theta\) es un ángulo, \(\Theta(\theta+2\pi)=\Theta(\theta)\), y esto exige que \(n=0,1,2,\dots\) sea un entero. Así,
\[\Theta(\theta)=A\cos n\theta+B\sin n\theta.\]
Ahora sí podemos estudiar la parte radial,
\[r^2R''+rR'+(\lambda^2r^2-n^2)R=0.\]
Hacemos \(s=\lambda r\) y obtenemos
\[s^2R''+sR'+(s^2-n^2)R=0. \tag{2}\]
4 La ecuación de Bessel
Esta es la ecuación de Bessel de orden \(n\). Aquí entramos al dominio matemático.
4.1 Un punto singular regular
En forma normal,
\[R''+\frac1s\,R'+\frac{s^2-n^2}{s^2}\,R=0,\]
vemos que en \(s=0\) hay una singularidad, y eso nos va a generar un dolor de cabeza. Un punto singular como este se llama regular: si la ecuación es \(R''+P(s)R'+Q(s)R=0\), entonces \(sP(s)\) y \(s^2Q(s)\) ya no tienen singularidades y se pueden escribir como series de potencias. El teorema, debido a Frobenius, dice que hay que suponer que la solución tiene la forma
\[R(s)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k\,s^{k+r},\qquad a_0\neq0,\]
y encontrar \(r\). (Ojo: esta \(r\) no es el radio, es un número que hay que encontrar; aquí va a salir entero.)
4.2 El método de Frobenius
Derivando término a término,
\[R'=\sum_{k=0}^{\infty}(k+r)\,a_k\,s^{k+r-1},\qquad R''=\sum_{k=0}^{\infty}(k+r)(k+r-1)\,a_k\,s^{k+r-2}.\]
Reemplazamos en \(s^2R''+sR'+(s^2-n^2)R\):
\[\sum_{k=0}^{\infty}(k+r)(k+r-1)\,a_k\,s^{k+r}+\sum_{k=0}^{\infty}(k+r)\,a_k\,s^{k+r}+\sum_{k=0}^{\infty}a_k\,s^{k+r+2}-\sum_{k=0}^{\infty}n^2a_k\,s^{k+r}.\]
Dejamos todo en potencias de \(s^{k+r}\). En la tercera sumatoria corremos el índice para que la potencia sea \(s^{k+r}\):
\[\sum_{k=0}^{\infty}a_k\,s^{k+r+2}=\sum_{k=2}^{\infty}a_{k-2}\,s^{k+r}.\]
Por otro lado, la primera, la segunda y la cuarta sumatoria dan \(\sum\bigl((k+r)^2-n^2\bigr)a_k\,s^{k+r}\). Sacando los dos primeros términos y juntando todo,
\[(r^2-n^2)\,a_0\,s^{r}+\bigl((1+r)^2-n^2\bigr)\,a_1\,s^{r+1}+\sum_{k=2}^{\infty}\Bigl[\bigl((k+r)^2-n^2\bigr)a_k+a_{k-2}\Bigr]s^{k+r}=0.\]
Como \(a_0\neq0\), la primera condición es \(r^2-n^2=0\), que se llama la ecuación indicial, y da \(r=\pm n\).
4.3 La primera solución: \(J_n\)
Veamos qué pasa con \(r=n\). El coeficiente \(a_0\) queda libre. Para \(a_1\),
\[\bigl((1+n)^2-n^2\bigr)a_1=(1+2n)\,a_1=0\ \Longrightarrow\ a_1=0.\]
Para \(k\ge2\) la fórmula de recurrencia es \(\bigl((k+n)^2-n^2\bigr)a_k=-a_{k-2}\), es decir,
\[k(k+2n)\,a_k=-a_{k-2}.\]
Como \(a_1=0\), todos los coeficientes impares son cero y solo sobreviven los pares, \(k=2m\):
\[a_{2m}=-\frac{a_{2m-2}}{4m(n+m)}.\]
Con \(a_0\) libre,
\[a_2=-\frac{a_0}{4(n+1)},\qquad a_4=\frac{a_0}{4^2\cdot2\,(n+1)(n+2)},\qquad a_6=-\frac{a_0}{4^3\cdot2\cdot3\,(n+1)(n+2)(n+3)},\]
y en general, tomando \(a_0=1\),
\[a_{2m}=\frac{(-1)^m\,n!}{4^m\,m!\,(n+m)!}.\]
La solución tiene entonces la forma
\[\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m\,n!}{4^m\,m!\,(n+m)!}\,s^{n+2m}.\]
Cualquier múltiplo constante también es solución, así que dividimos por \(2^n\,n!\) y obtenemos
\[J_n(s)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\,(n+m)!}\Bigl(\frac s2\Bigr)^{2m+n}. \tag{3}\]
Esta función se llama función de Bessel de primera especie de orden \(n\). Veamos que converge:
\[\left|\frac{a_{2m+2}\,s^{2m+2}}{a_{2m}\,s^{2m}}\right|=\frac{s^2}{4(m+1)(m+1+n)}\longrightarrow0\qquad(m\to\infty)\]
para todo \(s\). La serie converge en toda la recta.
4.4 La otra raíz
Veamos si se puede conseguir la otra solución con \(r=-n\), que sale de la indicial. El coeficiente \(a_0\) sigue libre, y
\[\bigl((1-n)^2-n^2\bigr)a_1=(1-2n)\,a_1=0\ \Longrightarrow\ a_1=0.\]
La fórmula de recurrencia se convierte en
\[k(k-2n)\,a_k=-a_{k-2}.\]
Si \(k=2n\) el lado izquierdo es cero, y la ecuación exige que \(a_{2n-2}=0\). Pero entonces, por la recurrencia, todos los anteriores serían cero, incluido \(a_0\), y la solución sería la trivial. Aquí el método falla. (No siempre pasa así: si \(2n\) no fuera un entero la recurrencia nunca se anularía. Pero en nuestro problema \(n\) es entero.)
4.5 La segunda solución, con logaritmo
Debemos buscar la otra solución por otro lado. Recordemos que cuando tenemos una solución \(y_1\) podemos encontrar otra por reducción de orden:
\[y_2=y_1\int\frac{W}{y_1^2}\,ds,\]
donde \(W\) es el wronskiano. Pero si \(P(s)=\frac1s\), y recordando que \(W'=-P(s)\,W=-\frac Ws\), entonces \(\ln W=\ln s^{-1}+\text{cte}\), de donde \(W=\frac Cs\). Tomando \(C=1\),
\[y_2=y_1\int\frac{ds}{s\,y_1^2}.\]
Como \(y_1\) viene del método de Frobenius, tiene la forma \(y_1=s^n\bigl(a_0+a_1s+\cdots\bigr)=s^n g(s)\) con \(g(0)\neq0\). Entonces
\[\int\frac{ds}{s\,y_1^2}=\int\frac{ds}{s^{2n+1}\,g(s)^2}.\]
A su vez \(\frac1{g(s)^2}\) se puede escribir como serie de potencias, \(b_0+b_1s+b_2s^2+\cdots\), de modo que
\[\begin{aligned}\int\frac{ds}{s\,y_1^2}&=\int\Bigl(b_0s^{-2n-1}+b_1s^{-2n}+\cdots+b_{2n}s^{-1}+b_{2n+1}+b_{2n+2}\,s+\cdots\Bigr)ds\\&=b_{2n}\ln s+s^{-2n}\sum_{k=0}^{\infty}c_k\,s^k.\end{aligned}\]
Multiplicando por \(y_1=s^ng(s)\) queda
\[y_2=b_{2n}\,y_1\ln s+s^{-n}\sum_{k=0}^{\infty}d_k\,s^k.\]
El coeficiente \(b_{2n}\) no es cero: si lo fuera, \(y_2\) sería una solución de Frobenius con \(r=-n\), y acabamos de ver que no existe. Esto sugiere que, en un punto singular regular, cuando la otra solución falla en ser de Frobenius tiene la forma
\[y_2=b\,y_1\ln x+x^{\rho}\sum_{k=0}^{\infty}c_k\,x^k,\]
con \(\rho\) la raíz menor de la indicial. Volviendo a la ecuación de Bessel, la otra solución tiene la forma
\[Y_n(s)=c\,J_n(s)\ln s+s^{-n}\sum_{k=0}^{\infty}c_k\,s^k,\]
con \(c\neq0\). (Con una constante apropiada es la función de Bessel de segunda especie.)
5 De vuelta a la membrana
Pero en \(s=0\) la función \(Y_n\) no está acotada, y entonces no tiene sentido físico: el centro de la membrana no puede estar a altura infinita. La única solución que sirve es \(J_n(s)\), y como \(s=\lambda r\),
\[R(r)=J_n(\lambda r).\]
La condición de borde es \(R(1)=0\), es decir,
\[J_n(\lambda)=0.\]
Las funciones de Bessel tienen infinitos ceros positivos, separados entre sí (verificar esto se sale del curso). El simulador deja ver las funciones y sus ceros.
Con el deslizador se escoge el orden \(n\). En azul está \(J_n(s)\) con sus ceros \(j_{n,1}<j_{n,2}<\cdots\) marcados. Con la casilla de \(Y_n\) se dibuja la otra solución, que se va a \(-\infty\) en \(s=0\). Con la casilla de la serie se dibuja la suma parcial de Ecuación 3 con el número de términos que se escoja, para ver cómo la serie converge para todo \(s\) pero pide más términos cuando \(s\) crece.
Entonces, para cada \(n\) existe una sucesión de ceros positivos \(j_{n,1}<j_{n,2}<\cdots\) de \(J_n\), y \(\lambda=j_{n,m}\). Así podemos recuperar la solución de los modos normales, que son las soluciones en las que toda la membrana oscila con la misma frecuencia y en fase:
\[u_{nm}(r,\theta,t)=J_n(j_{n,m}\,r)\bigl(A\cos n\theta+B\sin n\theta\bigr)\cos(j_{n,m}\,t+\varphi). \tag{4}\]
La frecuencia del modo \((n,m)\) es \(\omega_{n,m}=j_{n,m}\). Los primeros valores son:
| \(n\) | \(j_{n,1}\) | \(j_{n,2}\) | \(j_{n,3}\) |
|---|---|---|---|
| 0 | 2.4048 | 5.5201 | 8.6537 |
| 1 | 3.8317 | 7.0156 | 10.1735 |
| 2 | 5.1356 | 8.4172 | 11.6198 |
| 3 | 6.3802 | 9.7610 | 13.0152 |
| 4 | 7.5883 | 11.0647 | 14.3725 |
Los cocientes con la frecuencia fundamental \(j_{0,1}\) no son enteros: \(1,\ 1.593,\ 2.135,\ 2.295,\ 2.653,\dots\) Por eso los sonidos de un tambor no forman una serie armónica como los de una cuerda.
kill(all);
/* 1. El laplaciano en polares con la regla de la cadena */
depends(u, [r, t]);
dx(w) := cos(t)*diff(w, r) - sin(t)/r*diff(w, t)$
dy(w) := sin(t)*diff(w, r) + cos(t)/r*diff(w, t)$
trigsimp(expand(dx(dx(u)) + dy(dy(u)))); /* (u_tt + r^2 u_rr + r u_r)/r^2 */
trigsimp(expand(dx(dx(u)))); /* u_xx en polares */
remove(u, dependency);
/* 2. La serie de J_n resuelve s^2 y'' + s y' + (s^2 - n^2) y = 0.
Del residuo solo quedan potencias mayores que 2M+n (el truncamiento) */
Jn(n, s, M) := sum((-1)^m/(m!*(m+n)!)*(s/2)^(2*m+n), m, 0, M)$
for n:0 thru 4 do (
res: expand(s^2*diff(Jn(n,s,12),s,2) + s*diff(Jn(n,s,12),s) + (s^2-n^2)*Jn(n,s,12)),
print("n =", n, " primera potencia del residuo:", lopow(res, s)))$
/* 3. La recurrencia a[2m] = -a[2m-2]/(4m(n+m)) y la formula cerrada */
a[0]: 1$
for m:1 thru 6 do a[m]: -a[m-1]/(4*m*(n+m))$
for nn:0 thru 4 do (
for m:0 thru 6 do
if ratsimp(subst(n=nn, a[m]) - (-1)^m*nn!/(4^m*m!*(nn+m)!)) # 0
then print("falla", nn, m),
print("n =", nn, " la formula cerrada coincide hasta m = 6"))$
/* 4. r = -n: a[2m] = -a[2m-2]/(4m(m-n)) nunca se anula antes de k = 2n */
kill(a)$
for n:1 thru 3 do (
a[0]: 1,
for m:1 thru n-1 do a[m]: -a[m-1]/(4*m*(m-n)),
print("n =", n, " a_(2n-2) =", a[n-1], " (en k = 2n se exigiria 0 = -a_(2n-2))")
)$
/* 5. Con y1 = J_n = s^n g(s), el coeficiente b_2n de 1/g^2 no es cero:
por eso aparece el logaritmo */
for n:0 thru 4 do (
g: ratsimp(Jn(n, s, 2*n+2)/s^n),
print("n =", n, " b_2n =", ratcoef(taylor(1/g^2, s, 0, 2*n), s, 2*n)))$
/* 6. Ceros de J_n (j_(n,m)) y cocientes con la frecuencia fundamental j_(0,1) */
cero(n, a0, b0) := find_root(bessel_j(n, x), x, a0, b0)$
c01: cero(0, 2.3, 2.5)$
tabla: [[0, cero(0,2.3,2.5), cero(0,5.4,5.6), cero(0,8.5,8.8)],
[1, cero(1,3.7,3.9), cero(1,7.0,7.1), cero(1,10.1,10.3)],
[2, cero(2,5.0,5.2), cero(2,8.3,8.5), cero(2,11.5,11.8)],
[3, cero(3,6.3,6.5), cero(3,9.7,9.9), cero(3,13.0,13.2)],
[4, cero(4,7.5,7.7), cero(4,11.0,11.2), cero(4,14.3,14.5)]]$
for fila in tabla do print(fila)$
for fila in tabla do print(first(fila), makelist(fila[k]/c01, k, 2, 4))$6 Los modos normales
El tablero muestra los modos \((n,m)\) de Ecuación 4 con \(n=0,\dots,5\) y \(m=1,2,3\), vistos desde arriba. Cada uno oscila con su propia frecuencia \(\omega_{n,m}=j_{n,m}\), así que unos van más rápido que otros. En rojo la membrana sube, en azul baja, y en blanco no se mueve. Las líneas negras son las líneas nodales: \(n\) diámetros y \(m-1\) circunferencias, además del borde fijo. Al hacer clic en un modo se ve en 3D como una superficie que sube y baja sobre el plano de reposo (se puede girar arrastrando con el mouse, y el deslizador exagera la altura), y también desde arriba, junto con su perfil a lo largo de un diámetro. Con la orientación se pasa de \(\cos n\theta\) a \(\sin n\theta\), que son dos modos distintos con la misma frecuencia.
Los números \(\omega_{n,m}=c\,j_{n,m}/a\) son las frecuencias con las que suena el tambor. Calcularlas a partir de la forma es el problema directo, el que acabamos de resolver. Mark Kac preguntó en 1966 el problema inverso: si conocemos todas las frecuencias, ¿podemos reconstruir la forma del tambor? En una región \(\Omega\) cualquiera las frecuencias son las raíces cuadradas de los valores propios del problema \(-\Delta\phi=\lambda\phi\) en \(\Omega\), con \(\phi=0\) en el borde.
Algo sí se oye. Contando cómo crecen los valores propios se recupera el área (Weyl):
\[N(\lambda)\sim\frac{|\Omega|}{4\pi}\,\lambda\qquad(\lambda\to\infty),\]
donde \(N(\lambda)\) es el número de valores propios menores que \(\lambda\), y los términos siguientes del desarrollo dan el perímetro. De ahí sale que el disco sí se oye: un tambor que suena como un disco tiene el mismo área \(A\) y el mismo perímetro \(L\), entonces \(L^2=4\pi A\), y la desigualdad isoperimétrica dice que esa igualdad solo la cumple el disco.
Pero en general no se puede: en 1992 Gordon, Webb y Wolpert construyeron dos polígonos del plano que no son congruentes y que tienen exactamente las mismas frecuencias.
Referencias: M. Kac, Can one hear the shape of a drum?, Amer. Math. Monthly 73 (1966), no. 4, parte II, 1 a 23. C. Gordon, D. Webb y S. Wolpert, One cannot hear the shape of a drum, Bull. Amer. Math. Soc. 27 (1992), 134 a 138.